a) integral duplaD x y d A, onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral duplo integral duplaD x,y,dA, onde D é o disco de raio 3 centrado na origem. O conteúdo envolvido é integrais duplas em regiões simétricas, podendo usar argumento de simetria ou mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Observando a função f(x,y)=x,y, notamos que ela é ímpar em relação a x (ou a y). Como o disco D é simétrico em torno do eixo y (ou do eixo x), cada ponto (x,y) tem o correspondente (-x,y) (ou (x,-y)) cuja contribuição para o integral é de sinal oposto. Logo, por simetria,
integral duplaD x,y,dA = 0

Passo 3

Para confirmar, fazemos a mudança para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. Assim,
integral duplaD x,y,dA = integral0^2piintegral0^3 (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^3 r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

No produto de integrais, o fator radial integral0^3 r^3,dr é finito, mas o fator angular
integral0^2pi costhetasintheta,dtheta = 0

Passo 5

Como um dos fatores é zero, o valor do integral duplo é zero.

Resposta

0

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