Desenhe as curvas de nível
para os valores de k dados:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para desenhar as curvas de nível
correspondentes aos valores
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - As curvas de nível
são os conjuntos de pontos tais que . - Os valores de
pedidos são .
O que precisamos encontrar em cada caso: a equação no plano
que satisfaz
para cada
dado — ou seja, a curva (ou curvas) geométrica correspondente.
Passo 2
Escrevemos a condição de nível: para uma dada constante
queremos os pontos
tais que
Isto é a equação que vamos manipular para obter a descrição geométrica da curva de nível.
Passo 3
Introduzimos
. Observações importantes e simples:
- Por definição
. - A expressão
é exatamente .
Substituindo na equação do nível obtemos
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
dá
Aplicando a função exponencial (que é a inversa do logaritmo natural) em ambos os lados, obtemos
Aqui usei a propriedade
e
.
Passo 4
Voltando para coordenadas cartesianas,
. Elevando ao quadrado ambos os lados (mantendo
) resulta
Portanto, cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
Passo 5
Aplicando isso aos valores pedidos:
- Para
: . Equação: . (círculo de raio ) - Para
: . Equação: . (círculo de raio ) - Para
: . Equação: . (círculo de raio ) - Para
: . Equação: . (círculo de raio )
Para ajudar no desenho, aproximações numéricas dos raios:
Ou seja, as curvas são círculos concêntricos na origem, crescendo muito rápido à medida que
aumenta (porque o raio cresce como
).
Passo 6
Observações finais úteis para a prova:
- O ponto
não pertence a nenhuma curva de nível com finito, pois em o logaritmo é indefinido (tende a ). - Ao desenhar, coloque círculos concêntricos com raios
, , , ; no papel normal as últimas são enormes, então para um esquema qualitativo mostre apenas que são concêntricos e que o raio cresce exponencialmente.