Desenhe as curvas de nível \mathrm{C}_{ \mathrm{k}} para os valores de k dados:
z=\frac{1}{2} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} ; k=0,1,2,3.

Passo 1

O enunciado dá a função z=\dfrac{1}{2}\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}} e pede para desenhar as curvas de nível \mathrm{C}_{k} correspondentes aos valores k=0,1,2,3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é z=\dfrac{1}{2}\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • As curvas de nível \mathrm{C}_{k} são os conjuntos de pontos (x,y) tais que z=k.
  • Os valores de k pedidos são k=0,1,2,3.
O que precisamos encontrar em cada caso: a equação no plano (x,y) que satisfaz z=k para cada k dado — ou seja, a curva (ou curvas) geométrica correspondente.

Passo 2

Escrevemos a condição de nível: para uma dada constante k queremos os pontos (x,y) tais que
\frac{1}{2}\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=k.
Isto é a equação que vamos manipular para obter a descrição geométrica da curva de nível.

Passo 3

Introduzimos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Observações importantes e simples:
  • Por definição r\ge 0.
  • A expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} é exatamente r.
    Substituindo na equação do nível obtemos
\frac{1}{2}\ln r = k.
Agora isolamos r. Multiplicando ambos os lados por 2
\ln r = 2k.
Aplicando a função exponencial (que é a inversa do logaritmo natural) em ambos os lados, obtemos
r = e^{2k}.
Aqui usei a propriedade \exp(\ln r)=r e \exp(2k)=e^{2k}.

Passo 4

Voltando para coordenadas cartesianas, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=e^{2k}. Elevando ao quadrado ambos os lados (mantendo r\ge0) resulta
x^{2}+y^{2}=e^{4k}.
Portanto, cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
\text{raio} = e^{2k}.

Passo 5

Aplicando isso aos valores pedidos:
  • Para k=0: \;r=e^{0}=1. Equação: \;x^{2}+y^{2}=1. (círculo de raio 1)
  • Para k=1: \;r=e^{2}. Equação: \;x^{2}+y^{2}=e^{4}. (círculo de raio e^{2})
  • Para k=2: \;r=e^{4}. Equação: \;x^{2}+y^{2}=e^{8}. (círculo de raio e^{4})
  • Para k=3: \;r=e^{6}. Equação: \;x^{2}+y^{2}=e^{12}. (círculo de raio e^{6})
Para ajudar no desenho, aproximações numéricas dos raios:
e^{2}\approx 7,39,\qquad e^{4}\approx 54,60,\qquad e^{6}\approx 403,43.
Ou seja, as curvas são círculos concêntricos na origem, crescendo muito rápido à medida que k aumenta (porque o raio cresce como e^{2k}).

Passo 6

Observações finais úteis para a prova:
  • O ponto (0,0) não pertence a nenhuma curva de nível com k finito, pois em r=0 o logaritmo é indefinido (tende a -\infty).
  • Ao desenhar, coloque círculos concêntricos com raios 1, e^{2}, e^{4}, e^{6}; no papel normal as últimas são enormes, então para um esquema qualitativo mostre apenas que são concêntricos e que o raio cresce exponencialmente.

Resposta

k=0:\\ \mathrm{C}_{0}:\\ x^{2}+y^{2}=1
k=1:\\ \mathrm{C}_{1}:\\ x^{2}+y^{2}=e^{4}
k=2:\\ \mathrm{C}_{2}:\\ x^{2}+y^{2}=e^{8}
k=3:\\ \mathrm{C}_{3}:\\ x^{2}+y^{2}=e^{12}

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