Considere as funções: f(x, y)=x y. Para que valores de x e y tem-se f(x, y)=1 ? Represente graficamente a resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x\,y e pergunta duas coisas:
Para quais valores de x e y tem-se f(x,y)=1?
Representar graficamente a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
A equação que queremos resolver é x\,y=1.
Não há outros dados numéricos. A solução será um conjunto de pares (x,y) no plano.
Passo 2
Comecemos por manipular a equação dada. A condição é
x\,y=1.
Queremos expressar y em função de x (ou vice‑versa) para saber todos os pares (x,y) que satisfazem essa igualdade.
Passo 3
Se x fosse igual a 0 teríamos 0\cdot y=0, o que nunca é igual a 1. Logo x não pode ser 0. Assim, para qualquer x diferente de 0 podemos dividir os dois lados por x e obter:
y=\frac{1}{x},\qquad \text{com }x\neq 0.
Portanto todos os pares solução têm a forma \bigl(x,\dfrac{1}{x}\bigr) com x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Passo 4
Escrever a solução em forma de conjunto fica muito claro:
Isto significa: escolha qualquer x real diferente de 0; então y é \dfrac{1}{x} e o par (x,y) está na solução.
Passo 5
Agora uma pequena aula sobre o comportamento dessa curva para entender como desenhá‑la:
Quando x\to +\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0^+. Ou seja, para x muito grande y fica muito próximo de 0 por cima.
Quando x\to -\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0^-. Para x muito negativo y fica próximo de 0 por baixo.
Quando x\to 0^+ temos \dfrac{1}{x}\to +\infty. Ao aproximar x de 0 pela direita, y cresce sem limite.
Quando x\to 0^- temos \dfrac{1}{x}\to -\infty. Ao aproximar x de 0 pela esquerda, y decresce sem limite.
Dessas observações seguem duas conclusões gráficas importantes:
As retas x=0 e y=0 são assíntotas da curva: a curva se aproxima delas, mas nunca as cruza (a não ser em infinitos limites).
A curva tem dois ramos: um no primeiro quadrante (x>0,\\ y>0) e outro no terceiro quadrante (x<0,\\ y<0), porque x e y têm o mesmo sinal para que o produto seja positivo 1.
Passo 6
Uma forma prática de desenhar é calcular alguns pontos e ligar suavemente. Exemplos de pontos (peguei estes valores calculando y=1/x para cada x):
Plote esses pontos no plano cartesiano e depois trace uma curva suave passando por eles, aproximando‑se dos eixos x e y sem tocá‑los.
Passo 7
Propriedades geométricas úteis (para a prova):
A curva é a hipérbole rectangular dada por y=\dfrac{1}{x}.
É simétrica em relação à reta y=x (porque trocando x por y a equação permanece) e também simétrica em relação à origem (se (x,y) é solução então (-x,-y) também é).
Não existem pontos com x=0 ou y=0 na curva.
Passo 8
Verificação de exemplo — para ganhar confiança: tomar o ponto (2,\tfrac{1}{2}). Calcula‑se
2\cdot \tfrac{1}{2}=1,
logo esse ponto pertence à solução. O mesmo vale para (-3,-\tfrac{1}{3}) pois (-3)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=1.
Passo 9
Instruções resumidas para desenhar à mão em poucos passos:
Desenhe eixos x e y com escala regular.
Marque os pontos listados no Passo 6.
Desenhe uma curva suave pelo ponto (1,1), passando por (2,\tfrac{1}{2}) e aproximando‑se dos eixos quando x cresce; esse é o ramo no primeiro quadrante.
Desenhe outro ramo simétrico passando por (-1,-1) e (-2,-\tfrac{1}{2}), aproximando‑se dos eixos quando x tende a 0 por valores negativos; esse é o ramo no terceiro quadrante.
Indique as assíntotas x=0 e y=0 se quiser destacar.
Resposta
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y=1\}=\left\{\left(x,\dfrac{1}{x}\right)\\ \middle|\\ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\right\}
Gráfico: hipérbole rectangular y=\dfrac{1}{x} com dois ramos (quadrantes I e III) e assíntotas x=0 e y=0.