Esboçe o gráfico das funções a seguir:
f(x, y)=1-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboçe o gráfico da função f(x,y)=1-x^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=1-x^{2}.
  • As variáveis independentes são x e y.
  • O gráfico pedido é o conjunto de pontos (x,y,z) no espaço com z=f(x,y).
  • Não há restrições indicadas sobre x e y, então o domínio é todo o plano: (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que significa “esboçar o gráfico” de uma função de duas variáveis?
  • O gráfico de f é a superfície
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=1-x^{2}\}.
  • Em termos práticos, para desenhar: escolha um sistema de eixos x- y- z, represente curvas de nível (projeção no plano xy), e mostre algumas seções transversais e pontos notáveis para dar a forma da superfície.

Passo 3

Observação muito útil: f(x,y) não depende de y.
  • Como f depende só de x, isto é, f(x,y)=g(x) com g(x)=1-x^{2}, o gráfico é uma superfície obtida “extrudando” a curva z=g(x) ao longo da direção y.
  • Isso se chama uma cilindro parabolico: a mesma parábola z=1-x^{2} em qualquer plano paralelo a xz (para cada y fixo), estendida indefinidamente na direção y.

Passo 4

Estude a parábola que gera o cilindro (seção em y=0 ou projetada no plano xz).
  • Para y=0 (ou qualquer y fixo) temos
z=1-x^{2},
que é uma parábola no plano xz com:
  • vértice em (x,z)=(0,1) (máximo, porque o coeficiente de x^{2} é negativo),
  • abre para baixo (concavidade negativa),
  • intercepto com o plano z=0 quando
1-x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm1.
  • Alguns pontos concretos para marcar: (0,0,1), (1,0,0), (2,0,-3). Como a função independe de y, cada um desses pontos gera uma reta paralela ao eixo y (por exemplo, (0,y,1) para todo y).

Passo 5

Seções transversais importantes
  • Seção por planos y=y_{0} (qualquer y_{0} fixo): curva z=1-x^{2} (a mesma parábola).
  • Seção por planos x=x_{0} (fixando x_{0}): então
z=1-x_{0}^{2}
é constante em y. Ou seja, para cada x_{0} há uma reta paralela ao eixo y situada na altura z=1-x_{0}^{2}. Essas retas formam o “corpo” do cilindro.

Passo 6

Curvas de nível (contornos) no plano xy
  • As curvas de nível correspondem a f(x,y)=c, isto é
1-x^{2}=c \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=1-c.
  • Para c\le 1 existem soluções: x=\pm\sqrt{1-c}, com y livre — cada nível é um par de retas verticais x=\pm\sqrt{1-c} no plano xy.
  • Para c>1 não existem pontos do gráfico (a superfície não atinge alturas z>1).
  • Em particular, no plano xy a projeção das curvas de nível são retas verticais; isso evidencia a invariância em y.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (dicas para fazer à mão, rápido numa prova):
  1. Desenhe três eixos: x (horizontal para a direita), y (horizontal para fora/para cima do papel, se preferir) e z (vertical).
  2. No plano y=0 desenhe a parábola z=1-x^{2}: vértice em (0,1), cruza z=0 em x=\pm1, vai para -\infty quando |x|\to\infty.
  3. A partir de alguns pontos da parábola, trace retas paralelas ao eixo y. Por exemplo, da parábola passe linhas para frente e para trás no desenho, mostrando que a mesma forma se repete para todo y.
  4. Marque a linha de vértices: todos os pontos (0,y,1) formam uma reta (paralela a y) no topo da superfície — essa é a crista máxima.
  5. Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano xy: retas x=\pm 1 correspondendo a z=0, e retas x=\pm\sqrt{1-c} para outros níveis c\le1.
  6. Faça sombreamento indicando que a superfície se curva para baixo conforme x se afasta de zero.

Passo 8

Características finais que vale citar (resumo mental rápido antes da prova)
  • Tipo de superfície: cilindro parabólico (parabólica em x, cilíndrica em y).
  • Máximo global: valor máximo z_{\max}=1 ao longo da reta (0,y,1).
  • Não há pontos com z>1. Para |x|\to\infty tem z\to -\infty.
  • Simetria: simétrica em relação ao plano x=0 (reflexão x\mapsto -x) e invariância por translação ao longo do eixo y.

Resposta

O gráfico é um cilindro parabólico dado por z=1-x^{2}: uma parábola z=1-x^{2} no plano xz extrudada ao longo do eixo y. Maximo z=1 na reta (0,y,1); abre para baixo e é invariante na direção y.

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