Esboçe o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboçe o gráfico da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - As variáveis independentes são
e . - O gráfico pedido é o conjunto de pontos
no espaço com . - Não há restrições indicadas sobre
e , então o domínio é todo o plano: .
Passo 2
O que significa “esboçar o gráfico” de uma função de duas variáveis?
- O gráfico de
é a superfície
- Em termos práticos, para desenhar: escolha um sistema de eixos
- - , represente curvas de nível (projeção no plano ), e mostre algumas seções transversais e pontos notáveis para dar a forma da superfície.
Passo 3
Observação muito útil:
não depende de
.
- Como
depende só de , isto é, com , o gráfico é uma superfície obtida “extrudando” a curva ao longo da direção . - Isso se chama uma cilindro parabolico: a mesma parábola
em qualquer plano paralelo a (para cada fixo), estendida indefinidamente na direção .
Passo 4
Estude a parábola que gera o cilindro (seção em
ou projetada no plano
).
- Para
(ou qualquer fixo) temos
que é uma parábola no plano
com:
- vértice em
(máximo, porque o coeficiente de é negativo), - abre para baixo (concavidade negativa),
- intercepto com o plano
quando
- Alguns pontos concretos para marcar:
, , . Como a função independe de , cada um desses pontos gera uma reta paralela ao eixo (por exemplo, para todo ).
Passo 5
Seções transversais importantes
- Seção por planos
(qualquer fixo): curva (a mesma parábola). - Seção por planos
(fixando ): então
é constante em
. Ou seja, para cada
há uma reta paralela ao eixo
situada na altura
. Essas retas formam o “corpo” do cilindro.
Passo 6
Curvas de nível (contornos) no plano
- As curvas de nível correspondem a
, isto é
- Para
existem soluções: , com livre — cada nível é um par de retas verticais no plano . - Para
não existem pontos do gráfico (a superfície não atinge alturas ). - Em particular, no plano
a projeção das curvas de nível são retas verticais; isso evidencia a invariância em .
Passo 7
Como esboçar passo a passo (dicas para fazer à mão, rápido numa prova):
- Desenhe três eixos:
(horizontal para a direita), (horizontal para fora/para cima do papel, se preferir) e (vertical). - No plano
desenhe a parábola : vértice em , cruza em , vai para quando . - A partir de alguns pontos da parábola, trace retas paralelas ao eixo
. Por exemplo, da parábola passe linhas para frente e para trás no desenho, mostrando que a mesma forma se repete para todo . - Marque a linha de vértices: todos os pontos
formam uma reta (paralela a ) no topo da superfície — essa é a crista máxima. - Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano
: retas correspondendo a , e retas para outros níveis . - Faça sombreamento indicando que a superfície se curva para baixo conforme
se afasta de zero.
Passo 8
Características finais que vale citar (resumo mental rápido antes da prova)
- Tipo de superfície: cilindro parabólico (parabólica em
, cilíndrica em ). - Máximo global: valor máximo
ao longo da reta . - Não há pontos com
. Para tem . - Simetria: simétrica em relação ao plano
(reflexão ) e invariância por translação ao longo do eixo .
Resposta
O gráfico é um cilindro parabólico dado por
: uma parábola
no plano
extrudada ao longo do eixo
. Maximo
na reta
; abre para baixo e é invariante na direção
.