Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(d) \frac{s^{2}}{(s+1)\left(s^{2}+4 s+16\right)}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar o Diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) da função de transferência
H(s)=\frac{s^{2}}{(s+1)\bigl(s^{2}+4s+16\bigr)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (a função acima):
  • Numerador: s^{2}. Ou seja, há dois zeros na origem (zero de ordem 2 em s=0).
  • Denominador fatorado visivelmente como (s+1) e \bigl(s^{2}+4s+16\bigr), portanto:
    • um polo real em s=-1 (frequência característica \omega_{1}=1\\ \text{rad/s});
    • um par de polos complexos com a forma s^{2}+4s+16. Estes têm frequência natural \omega_{n} e amortecimento \zeta dados por reescrever em \,s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
  • Vou usar esses dados para construir os assíntotos de magnitude (somas das contribuições em dB) e de fase (somas das contribuições angulares).

Passo 2

Identificar com precisão os polos do termo quadrático e suas características (passo importante para os cantos do Bode).
Reescrevendo \,s^{2}+4s+16 no padrão \,s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}:
2\zeta\omega_{n}=4,\qquad \omega_{n}^{2}=16 \Rightarrow \omega_{n}=4.
Logo \zeta=\dfrac{2}{\omega_{n}}=\dfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
Resumo dos cantos (frequências características):
  • zero duplo em s=0 (não tem “canto” finito; contribui em todas as frequências com \,+40\\ \mathrm{dB/dec} na magnitude);
  • polo real em \,s=-1 com canto em \omega=1\\ \text{rad/s};
  • par de polos complexos com \omega_{n}=4\\ \text{rad/s} (canto em \omega=4\\ \text{rad/s}); amortecimento \zeta=0{,}5 (ressonância moderada, mas para o diagrama assintótico tratamos como um polo duplo que introduz -40\\ \mathrm{dB/dec} após \omega=4).

Passo 3

Regra prática para magnitude assintótica (soma das contribuições em decibéis):
  • cada zero simples em s=0 (i.e. integrador invertido / “zero na origem”) contribui com +20\\ \mathrm{dB/dec} e +90^\circ de fase; aqui há dois zeros na origem → contribuição \,+40\\ \mathrm{dB/dec} e +180^\circ de fase (constante).
  • cada polo simples contribui com -20\\ \mathrm{dB/dec} a partir de sua frequência de canto e -90^\circ de fase ao final da transição.
  • um par de polos complexos contribui com -40\\ \mathrm{dB/dec} (em magnitude) iniciando em sua frequência natural e com -180^\circ de fase ao final da transição.
Consequência para as três regiões em frequência:
  • Região 1: \omega \ll 1. Somas das inclinações: +40\\ \mathrm{dB/dec} (apenas os dois zeros dominam). Slope = +40\\ \mathrm{dB/dec}.
  • Região 2: 1 \ll \omega \ll 4. Já passou pelo polo em 1 que adiciona -20. Slope = +40-20=+20\\ \mathrm{dB/dec}.
  • Região 3: \omega \gg 4. Já passaram o polo em 1 e o par em 4: Slope = +40-20-40=-20\\ \mathrm{dB/dec}.

Passo 4

Determinar um nível de referência (intercepto) para posicionar as retas assintóticas em dB.
Para \omega muito pequeno ( \omega\ll 1) a aproximação do módulo é
|H(j\omega)|\approx\frac{\omega^{2}}{1\cdot 16}=\frac{\omega^{2}}{16}.
Convertendo para dB:
20\log_{10}|H(j\omega)|\approx 40\log_{10}\omega - 20\log_{10}16.
Como 20\log_{10}16\approx 24{,}08\\ \mathrm{dB}, a assimntota de baixa frequência escrita explicitamente é
\text{(assíntota baixa-}\omega\text{)}:\quad 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx 40\log_{10}\omega -24{,}08\\ \mathrm{dB}.í
Isto nos dá um ponto de ancoragem simples: no ponto \omega=1 (primeiro canto) a assíntota de baixo diz
20\log_{10}|H(j1)|_{\text{ass}}=-24{,}08\\ \mathrm{dB}.
(Observação: o valor exato do módulo em \omega=1 calculado sem aproximação é
|H(j1)|=\frac{1}{|j1+1|\cdot|15+j4|}=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{241}}\approx 0{,}04553,
ou seja 20\log_{10}|H(j1)|\approx -26{,}83\\ \mathrm{dB}. A pequena diferença é normal: a reta assintótica não coincide exatamente com o traçado exato no ponto de canto.)

Passo 5

Valores de referência em pontos-chave (úteis para desenhar):
  • Pela assíntota baixa (válida para \omega\ll1):
    • em \omega=0{,}1: 20\log_{10}|H|\approx 40\log_{10}(0{,}1)-24{,}08=-40-24{,}08=-64{,}08\\ \mathrm{dB}.
    • em \omega=1: 20\log_{10}|H|_{\text{ass}}\approx -24{,}08\\ \mathrm{dB}.
  • Entre \omega=1 e \omega=4 a inclinação é +20\\ \mathrm{dB/dec}. Assim a partir de -24{,}08\\ \mathrm{dB} em \omega=1, na frequência \omega=4 (que vale 0{,}602 décadas acima de 1) a assíntota prevê: -24{,}08 + 20\cdot\log_{10}\!\left(\frac{4}{1}\right)\cdot 2\\ \text{(correção em dB por dec)}\Rightarrowçãmais direto: mudança = +20\cdot\log_{10}4^{1} = +20\cdot 0{,}60206 \approx +12{,}04\\ \mathrm{dB}. Logo assíntota em \omega=4: 20\log_{10}|H(j4)|_{\text{ass}}\approx -24{,}08+12{,}04\approx -12{,}04\\ \mathrm{dB}.O valor exato calculado em \omega=4 é 20\log_{10}|H(j4)|\approx -12{,}30\\ \mathrm{dB} (novamente próximo da assíntota).
  • Para \omega>4 a inclinação passa a ser -20\\ \mathrm{dB/dec} (decresce).
Esses pontos dão como posicionar as três retas lineares (em escala log) para a magnitude:
  • reta 1 ( \omega<1): passa por (\omega=1,\,-24{,}08\\ \mathrm{dB}) com inclinação +40\\ \mathrm{dB/dec};
  • reta 2 ( 1<\omega<4): passa por (\omega=1,\,-24{,}08\\ \mathrm{dB}) e por (\omega=4,\,-12{,}04\\ \mathrm{dB}) com inclinação +20\\ \mathrm{dB/dec};
  • reta 3 ( \omega>4): passa por (\omega=4,\,-12{,}04\\ \mathrm{dB}) e decresce com -20\\ \mathrm{dB/dec}.

Passo 6

Esboço da fase assintótica (regra prática):
  • zeros duplos em s=0 → contribuição constante de +180^\circ (cada zero na origem dá +90^\circ, e este não “transiciona” em frequência finita: sua fase é sempre +180^\circ para \omega>0 considerando o argumento de j\omega).
  • polo em \omega=1 → fase sobe de 0^\circ para -90^\circ ao longo de cerca de uma década antes até uma década depois do canto (usualmente de 0{,}1\omega_{1} a 10\omega_{1}); na prática reduz a fase total em 90^\circ.
  • par de polos em \omega=4 → redução adicional de 180^\circ ao completar a transição (transição aproximadamente de 0{,}4 a 40 rad/s).
    Somando:
  • para \omega\ll 1: fase total \approx +180^\circ (apenas os zeros em 0 dominam).
  • para 1\ll\omega\ll 4: após o polo em 1 ter “virado”, a fase fica \approx +180^\circ -90^\circ = +90^\circ.
  • para \omega\gg 4: após o par em 4 ter completado a transição, fase final \approx +180^\circ -90^\circ -180^\circ = -90^\circ.
No desenho assintótico de fase:
  • colocar uma transição linear aproximada de 90^\circ centrada em \omega=1 (de +180^\circ descendo para +90^\circ entre cerca de 0{,}1 e 10 rad/s);
  • colocar uma transição linear aproximada de 180^\circ centrada em \omega=4 (de +90^\circ indo para -90^\circ entre cerca de 0{,}4 e 40 rad/s).

Passo 7

Instruções finais para desenhar (passo-a-passo prático, “o que traçar”):
  1. Eixo horizontal: escala log de \omega (por exemplo de 10^{-1} a 10^{4}); marque \omega=1 e \omega=4.
  2. Magnitude:
    • trace a reta de baixa frequência com inclinação +40\\ \mathrm{dB/dec} usando a expressão \,20\log_{10}|H|\approx 40\log_{10}\omega -24{,}08\\ \mathrm{dB}😉 isso dá um ponto em \omega=1 igual a -24{,}08\\ \mathrm{dB}.
    • a partir de \omega=1 mude a inclinação para +20\\ \mathrm{dB/dec} até \omega=4 (reta que passa por \omega=4 com aproximadamente -12{,}04\\ \mathrm{dB}).
    • a partir de \omega=4 mude a inclinação para -20\\ \mathrm{dB/dec}.
    • se quiser comparar com a resposta “exata”, verifica-se que os valores reais em \omega=1 e \omega=4 são aproximadamente -26{,}83\\ \mathrm{dB} e -12{,}30\\ \mathrm{dB} respectivamente — a assíntota passa próximo a esses pontos.
  3. Fase:
    • desenhe um valor constante de +180^\circ para \omega\ll 0{,}1.
    • faça a transição linear de +180^\circ para +90^\circ centrada em \omega=1 (começando em \approx 0{,}1 e terminando em \approx 10).
    • a seguir faça a transição linear de +90^\circ para -90^\circ centrada em \omega=4 (aprox. de 0{,}4 a 40 rad/s).
  4. Rotule a inclinação das retas em dB/dec e os níveis de fase finais ( +180^\circ,\\\ +90^\circ,\\\ -90^\circ).

Passo 8

Resumo numérico prático (para marcar pontos no esboço):
  • pontos de canto: \omega_{1}=1, \omega_{2}=4.
  • magnitude assintótica:
    • \omega=0{,}1:\\\ 20\log_{10}|H|\approx -64{,}08\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=1: assíntota baixa \approx -24{,}08\\ \mathrm{dB} (valor exato -26{,}83\\ \mathrm{dB}).
    • \omega=4: assíntota \approx -12{,}04\\ \mathrm{dB} (valor exato -12{,}30\\ \mathrm{dB}).
    • para \omega\gg 4 a inclinação final é -20\\ \mathrm{dB/dec}.
  • fase assintótica (valores aproximados por regiões):
    • \omega\ll 1:\\ \varphi\approx +180^\circ.
    • 1\ll\omega\ll 4:\\ \varphi\approx +90^\circ.
    • \omega\gg 4:\\ \varphi\approx -90^\circ.

Resposta

Cantidades-chave e retas assintóticas para H(s)=\dfrac{s^{2}}{(s+1)(s^{2}+4s+16)}:
  • Cantos: \omega=1\\ \text{rad/s} (polo real) e \omega=4\\ \text{rad/s} (par de polos complexos com \zeta=0{,}5).
  • Magnitude (assíntotas):
    • \omega\ll 1: inclinação +40\\ \mathrm{dB/dec}, 20\log_{10}|H|\approx 40\log_{10}\omega -24{,}08\\ \mathrm{dB}.
    • 1\ll\omega\ll 4: inclinação +20\\ \mathrm{dB/dec}.
    • \omega\gg 4: inclinação -20\\ \mathrm{dB/dec}.
    • Valores de referência: \omega=1 (assíntota) \approx -24{,}08\\ \mathrm{dB} (valor exato -26{,}83\\ \mathrm{dB}); \omega=4 (assíntota) \approx -12{,}04\\ \mathrm{dB} (valor exato -12{,}30\\ \mathrm{dB}).
  • Fase (assíntotas): \omega\ll1:\\\ +180^\circ; 1\ll\omega\ll4:\\\ +90^\circ; \omega\gg4:\\\ -90^\circ. As transições são suaves: aproximadamente de 0{,}1 a 10 rad/s (polo em 1) e de 0{,}4 a 40 rad/s (par em 4).

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