Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: desenhar o Diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) da função de transferência
Informações relevantes extraídas do enunciado (a função acima):
- Numerador:
. Ou seja, há dois zeros na origem (zero de ordem 2 em ). - Denominador fatorado visivelmente como
e , portanto: - um polo real em
(frequência característica ); - um par de polos complexos com a forma
. Estes têm frequência natural e amortecimento dados por reescrever em .
- um polo real em
- Vou usar esses dados para construir os assíntotos de magnitude (somas das contribuições em dB) e de fase (somas das contribuições angulares).
Passo 2
Identificar com precisão os polos do termo quadrático e suas características (passo importante para os cantos do Bode).
Reescrevendo no padrão
:
Reescrevendo
Logo
.
Resumo dos cantos (frequências características):
- zero duplo em
(não tem “canto” finito; contribui em todas as frequências com na magnitude); - polo real em
com canto em ; - par de polos complexos com
(canto em ); amortecimento (ressonância moderada, mas para o diagrama assintótico tratamos como um polo duplo que introduz após ).
Passo 3
Regra prática para magnitude assintótica (soma das contribuições em decibéis):
- cada zero simples em
(i.e. integrador invertido / “zero na origem”) contribui com e de fase; aqui há dois zeros na origem → contribuição e de fase (constante). - cada polo simples contribui com
a partir de sua frequência de canto e de fase ao final da transição. - um par de polos complexos contribui com
(em magnitude) iniciando em sua frequência natural e com de fase ao final da transição.
Consequência para as três regiões em frequência:
- Região 1:
. Somas das inclinações: (apenas os dois zeros dominam). Slope = . - Região 2:
. Já passou pelo polo em que adiciona . Slope = . - Região 3:
. Já passaram o polo em e o par em : Slope = .
Passo 4
Determinar um nível de referência (intercepto) para posicionar as retas assintóticas em dB.
Para muito pequeno (
) a aproximação do módulo é
Para
Convertendo para dB:
Como
, a assimntota de baixa frequência escrita explicitamente é
Isto nos dá um ponto de ancoragem simples: no ponto
(primeiro canto) a assíntota de baixo diz
(Observação: o valor exato do módulo em
calculado sem aproximação é
ou seja
. A pequena diferença é normal: a reta assintótica não coincide exatamente com o traçado exato no ponto de canto.)
Passo 5
Valores de referência em pontos-chave (úteis para desenhar):
- Pela assíntota baixa (válida para
): - em
: - em
:
- em
- Entre
e a inclinação é . Assim a partir de em , na frequência (que vale décadas acima de 1) a assíntota prevê: mais direto: mudança = . Logo assíntota em : O valor exato calculado em é (novamente próximo da assíntota). - Para
a inclinação passa a ser (decresce).
Esses pontos dão como posicionar as três retas lineares (em escala log) para a magnitude:
- reta 1 (
): passa por com inclinação ; - reta 2 (
): passa por e por com inclinação ; - reta 3 (
): passa por e decresce com .
Passo 6
Esboço da fase assintótica (regra prática):
- zeros duplos em
→ contribuição constante de (cada zero na origem dá , e este não “transiciona” em frequência finita: sua fase é sempre para considerando o argumento de ). - polo em
→ fase sobe de para ao longo de cerca de uma década antes até uma década depois do canto (usualmente de a ); na prática reduz a fase total em . - par de polos em
→ redução adicional de ao completar a transição (transição aproximadamente de a rad/s).
Somando: - para
: fase total (apenas os zeros em dominam). - para
: após o polo em ter “virado”, a fase fica . - para
: após o par em ter completado a transição, fase final .
No desenho assintótico de fase:
- colocar uma transição linear aproximada de
centrada em (de descendo para entre cerca de e rad/s); - colocar uma transição linear aproximada de
centrada em (de indo para entre cerca de e rad/s).
Passo 7
Instruções finais para desenhar (passo-a-passo prático, “o que traçar”):
- Eixo horizontal: escala log de
(por exemplo de a ); marque e . - Magnitude:
- trace a reta de baixa frequência com inclinação
usando a expressão 😉 isso dá um ponto em igual a . - a partir de
mude a inclinação para até (reta que passa por com aproximadamente ). - a partir de
mude a inclinação para . - se quiser comparar com a resposta “exata”, verifica-se que os valores reais em
e são aproximadamente e respectivamente — a assíntota passa próximo a esses pontos.
- trace a reta de baixa frequência com inclinação
- Fase:
- desenhe um valor constante de
para . - faça a transição linear de
para centrada em (começando em e terminando em ). - a seguir faça a transição linear de
para centrada em (aprox. de a rad/s).
- desenhe um valor constante de
- Rotule a inclinação das retas em dB/dec e os níveis de fase finais (
).
Passo 8
Resumo numérico prático (para marcar pontos no esboço):
- pontos de canto:
, . - magnitude assintótica:
-
-
assíntota baixa (valor exato ). -
assíntota (valor exato ). - para
a inclinação final é .
-
- fase assintótica (valores aproximados por regiões):
-
. -
. -
.
-
Resposta
Cantidades-chave e retas assintóticas para
:
- Cantos:
(polo real) e (par de polos complexos com ). - Magnitude (assíntotas):
-
inclinação , -
inclinação . -
inclinação . - Valores de referência:
(assíntota) (valor exato ); (assíntota) (valor exato ).
-
- Fase (assíntotas):
; ; . As transições são suaves: aproximadamente de a rad/s (polo em 1) e de a rad/s (par em 4).