Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(b)
(b)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pedido: desenhar o Diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) da função de transferência
- Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Zeros (numerador):
e (ou, em frequência, cantos/constantes de tempo em e rad/s). - Polos (denominador): pólos na origem de ordem 2 (ou seja
→ dois integradores) e um polo real em (ou rad/s).
- Zeros (numerador):
- O que vou entregar como resposta final (o que você vai precisar para “desenhar”):
- As frequências de canto (breakpoints):
(e origem para os polos em ). - As inclinações (slopes) em dB/decade em cada intervalo e como montar a reta assintótica da magnitude.
- Um ponto de referência numérico para posicionar a assíntota (vou usar
rad/s para ancorar). - A montagem da fase assintótica (explicando como cada polo/zero contribui e valores aproximados em frequências-chave).
- As frequências de canto (breakpoints):
- Observação importante: não há ganho multiplicativo explícito (K) além dos polinômios dados; por isso vou calcular um valor numérico de
em (ponto de ancoragem) para posicionar as retas assintóticas.
Passo 2
Identificação formal das contribuições (cada termo e sua contribuição em magnitude e fase).
- Escrevo
. Cada fator contribui assim: - Fator
: zero de 1ª ordem com frequência de canto . Contribuição para magnitude: começa com 0 dB (para ) e a partir de adiciona dB/decade. Contribuição para fase: vai de até (transição aprox. de a , mais precisamente de a ). - Fator
: zero com canto . Contribuição magnitude: dB/dec a partir de . Fase: de para entre e (regra prática: de a ). - Fator
no denominador: dois polos na origem. Cada polo dá dB/dec e de fase constante; dois polos na origem juntos dão: - magnitude:
dB/dec para pequeno até que zeros/polos de ordem maior modifiquem; - fase:
(constante, contribuído por ).
- magnitude:
- Fator
no denominador: polo de 1ª ordem com canto . Contribuição magnitude: a partir de adiciona dB/dec. Contribuição fase: transição de para entre e (prática: de a ).
- Fator
Passo 3
Regras práticas para montar a assíntota da magnitude (resumo metodológico).
- Regra de soma de inclinações: some as inclinações (em dB/dec) de todos os termos ativos naquele intervalo.
- Posições de canto:
(além do comportamento em devido aos polos na origem). - Para posicionar verticalmente a assíntota (não apenas a inclinação), preciso de UM ponto exato da função. Vou calcular
em rad/s e convertê-lo para dB; depois uso as inclinações para encontrar valores em outras frequências por mudança de dB/decade.
Passo 4
Cálculo do ponto de ancoragem em
rad/s (magnitude em dB).
- Primeiro computo
em : - Normas:
e . Então
- Portanto
Calcule numericamente: - Em dB:
- Conclusão deste passo: o valor exato (para ancoragem) em
é
Passo 5
Montagem da assíntota de magnitude (slopes por intervalos) e cálculo dos valores nos pontos de canto usando a ancoragem em
.
-
Determino a inclinação em cada intervalo:
- Para
: apenas os dois polos na origem atuam (zeros ainda não “entraram”), então inclinação = dB/dec. - Para
: o zero em já entrou (+20), então inclinação total = dB/dec. - Para
: os zeros em 10 e 20 entraram, inclinação = dB/dec (plano horizontal). - Para
: o polo em 100 também entra (−20), inclinação = dB/dec.
- Para
-
Agora uso o valor em
(pegado no Passo 4) para propagar assíntota até os cantos: - De
para é 1 década e a inclinação é dB/dec, então: - De
para é décadas e a inclinação nesse intervalo é dB/dec, então a variação é dB. - De
para é décadas; a inclinação é dB/dec, então não muda: - Para
(uma década acima de 100) a inclinação é dB/dec, então
- De
-
Resumo numérico (pontos-chave da assíntota de magnitude):
-
: dB (âncora calculada). -
: dB (após 1 década com slope dB/dec). -
: dB. -
: dB (plano). -
: dB.
-
-
Como desenhar a magnitude assintótica:
- Em escala log-log para o eixo
(por exemplo de a ). - Marque
. - No intervalo
trace uma reta com slope dB/dec que passe por . - Em
o slope muda para dB/dec; em muda para dB/dec; em muda para dB/dec. Ligue os trechos com essas inclinações (linhas retas) para obter a assíntota da magnitude.
- Em escala log-log para o eixo
Passo 6
Discussão e observação sobre a diferença entre assíntota e magnitude exata.
- A assíntota apresenta quebras angulares nos cantos e retas; a resposta exata é mais suave (ver imagem com curva tracejada). No entorno de cada canto a curva real “se aproxima” da assíntota, mas pode ter um pico local ou desvio de alguns dB perto do canto.
- Usei
como ancoragem por ser prático; se preferir ancorar em outro ponto (por ex. em usando o valor exato) o procedimento é o mesmo (calcular um ponto exato e propagar pelas inclinações).
Passo 7
Montagem da assíntota da fase (método e valores aproximados em frequências-chaves).
- Fórmula exata para a fase (útil para verificar valores):
Aqui usei que , então (denom) dá subtração de . - Regra assintótica (reta) para cada pólo/zero de 1ª ordem:
- A transição de fase de
para ocorre aproximadamente entre e , com valor aproximado de em .
- A transição de fase de
- Aplicando isso ao caso:
- Dois polos na origem (
): fase constante (toda frequência). - Zero em
: gera +90° total entre e (aprox. rampa linear assintótica de em ). - Zero em
: gera +90° total entre e . - Polo em
: gera total entre e .
- Dois polos na origem (
- Assim, construindo a fase assintótica (retas):
- Para
(menor que ): zeros/polo de alta frequência ainda não influenciam: fase ≈ . - Entre
e : o zero em 10 começa a subir, o zero em 20 ainda pouco; fase sobe gradualmente de . - Em
(ponto médio do zero 10): contribuição do zero em 10 ≈ ; contribuição do zero em 20 ≈ (se quiser a aproximação exata); contribuição do polo 100 ≈ (subtrai). Usando a expressão exata dá um valor aproximado de (veja cálculos numéricos abaixo). - Em
: faz-se o mesmo; em e em a fase tende a (porque, para , os dois zeros totalizam , o termo dá , e o polo em 100 dá mais : ).
- Para
- Valores numéricos da fase (usando a fórmula exata) em frequências úteis:
-
: -
: -
: -
: -
: (limite).
-
- Como desenhar a fase assintótica:
- Marque intervalos de transição:
para o zero em 10, para o zero em 20, para o polo em 100 (essas são as faixas a ). - Desenhe retas lineares que representam o aumento/decréscimo de fase em cada faixa, somando as contribuições (lembre que
já começa em para todas as ). - Verifique com os valores numéricos em
para posicionar corretamente as retas.
- Marque intervalos de transição:
Passo 8
Instruções finais passo-a-passo para desenhar ambos os gráficos (resumo rápido para usar na prova).
- Eixo horizontal:
logarítmico (rad/s). Marque: . - Magnitude (dB):
- Em
marque dB (âncora). - Trace reta até
com slope dB/dec atingindo dB. - A partir de
mude para slope dB/dec até (chegando em dB). - De
a slope dB/dec (reta horizontal em dB). - A partir de
slope dB/dec (por exemplo em terá dB).
- Em
- Fase (graus):
- Para
faça a reta aproximada em . - Entre
e suba linearmente devido ao zero de 10 (contribuição total ). - Entre
e some a rampa do zero em 20 (outros ). - Entre
e subtraia a rampa do polo em 100 (−90°). - Resultado: valores aproximados nos pontos 1,10,20,100 mostrados no passo anterior; para
a fase tende a .
- Para
Resposta
Breakpoints:
(além dos polos na origem).
Magnitude assintótica (dB/dec por intervalo) e valores em pontos-chave:
-
: slope dB/dec. Em : -
: slope dB/dec. Em : -
: slope dB/dec (plano). Em e : -
: slope dB/dec. Em :
Fase assintótica (resumo e valores aproximados):
- Para
: -
: -
: -
: -
: -
:
(Com essas retas e pontos você já consegue desenhar o diagrama de Bode assintótico da função dada.)