Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(b) \frac{(s+10)(s+20)}{s^{2}(s+100)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: desenhar o Diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) da função de transferência H(s)=\frac{(s+10)(s+20)}{s^{2}(s+100)}.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • Zeros (numerador): \;s=-10 e \;s=-20 (ou, em frequência, cantos/constantes de tempo em \omega_{z1}=10 e \omega_{z2}=20 rad/s).
    • Polos (denominador): pólos na origem de ordem 2 (ou seja \;s^{2} → dois integradores) e um polo real em \;s=-100 (ou \omega_{p}=100 rad/s).
  • O que vou entregar como resposta final (o que você vai precisar para “desenhar”):
    • As frequências de canto (breakpoints): \;10,\;20,\;100 (e origem para os polos em 0).
    • As inclinações (slopes) em dB/decade em cada intervalo e como montar a reta assintótica da magnitude.
    • Um ponto de referência numérico para posicionar a assíntota (vou usar \omega=1 rad/s para ancorar).
    • A montagem da fase assintótica (explicando como cada polo/zero contribui e valores aproximados em frequências-chave).
  • Observação importante: não há ganho multiplicativo explícito (K) além dos polinômios dados; por isso vou calcular um valor numérico de 20\log_{10}|H(j\omega)| em \omega=1 (ponto de ancoragem) para posicionar as retas assintóticas.

Passo 2

Identificação formal das contribuições (cada termo e sua contribuição em magnitude e fase).
  • Escrevo s=j\omega. Cada fator contribui assim:
    • Fator (s+10): zero de 1ª ordem com frequência de canto \omega=10. Contribuição para magnitude: começa com 0 dB (para \omega\ll10) e a partir de \omega=10 adiciona +20 dB/decade. Contribuição para fase: vai de 0^\circ até +90^\circ (transição aprox. de \omega=1 a \omega=100, mais precisamente de \omega=10/10 a \omega=10\cdot10).
    • Fator (s+20): zero com canto \omega=20. Contribuição magnitude: +20 dB/dec a partir de \omega=20. Fase: de 0^\circ para +90^\circ entre \omega=2 e \omega=200 (regra prática: de \omega_c/10 a 10\omega_c).
    • Fator s^{2} no denominador: dois polos na origem. Cada polo 1/s -20 dB/dec e -90^\circ de fase constante; dois polos na origem juntos dão:
      • magnitude: -40 dB/dec para \omega pequeno até que zeros/polos de ordem maior modifiquem;
      • fase: -180^\circ (constante, contribuído por s^{2}).
    • Fator (s+100) no denominador: polo de 1ª ordem com canto \omega=100. Contribuição magnitude: a partir de 100 adiciona -20 dB/dec. Contribuição fase: transição de 0^\circ para -90^\circ entre \omega=10 e \omega=1000 (prática: de \omega_c/10 a 10\omega_c).

Passo 3

Regras práticas para montar a assíntota da magnitude (resumo metodológico).
  • Regra de soma de inclinações: some as inclinações (em dB/dec) de todos os termos ativos naquele intervalo.
  • Posições de canto: \omega=10,\,20,\,100 (além do comportamento em \omega\to0 devido aos polos na origem).
  • Para posicionar verticalmente a assíntota (não apenas a inclinação), preciso de UM ponto exato da função. Vou calcular |H(j\omega)| em \omega=1 rad/s e convertê-lo para dB; depois uso as inclinações para encontrar valores em outras frequências por mudança de dB/decade.

Passo 4

Cálculo do ponto de ancoragem em \omega=1 rad/s (magnitude em dB).
  • Primeiro computo |H(j\omega)| em \omega=1: |H(j1)|=\frac{|j1+10|\;|j1+20|}{|j1|^{2}\;|j1+100|}.
  • Normas: |j\omega+a|=\sqrt{a^{2}+\omega^{2}} e |j\omega|=\omega. Então |j1+10|=\sqrt{10^{2}+1^{2}}=\sqrt{101}, \quad |j1+20|=\sqrt{20^{2}+1^{2}}=\sqrt{401},
|j1+100|=\sqrt{100^{2}+1^{2}}=\sqrt{10001}, \quad |j1|^{2}=1^{2}=1.
  • Portanto |H(j1)|=\frac{\sqrt{101}\,\sqrt{401}}{\sqrt{10001}} =\sqrt{\frac{101\cdot401}{10001}}.Calcule numericamente: \frac{101\cdot401}{10001}\approx4{,}049895,\quad |H(j1)|\approx2{,}01245.
  • Em dB: 20\log_{10}|H(j1)| \approx 20\log_{10}(2{,}01245)\approx 6{,}07\\ \text{dB}.
  • Conclusão deste passo: o valor exato (para ancoragem) em \omega=1 é 20\log_{10}|H(j1)|\approx 6{,}07\\ \text{dB}.

Passo 5

Montagem da assíntota de magnitude (slopes por intervalos) e cálculo dos valores nos pontos de canto usando a ancoragem em \omega=1.
  • Determino a inclinação em cada intervalo:
    • Para \omega<10: apenas os dois polos na origem atuam (zeros ainda não “entraram”), então inclinação = -40 dB/dec.
    • Para 10<\omega<20: o zero em 10 já entrou (+20), então inclinação total = -40+20 = -20 dB/dec.
    • Para 20<\omega<100: os zeros em 10 e 20 entraram, inclinação = -40+20+20 = 0 dB/dec (plano horizontal).
    • Para \omega>100: o polo em 100 também entra (−20), inclinação = -40+20+20-20 = -20 dB/dec.
  • Agora uso o valor em \omega=1 (pegado no Passo 4) para propagar assíntota até os cantos:
    • De \omega=1 para \omega=10 é 1 década e a inclinação é -40 dB/dec, então: 20\log_{10}|H(j10)|_{\text{assint}} \approx 6{,}07 + (-40)\cdot 1 = -33{,}93\\ \text{dB}.
    • De \omega=10 para \omega=20 é \log_{10}(20/10)=\log_{10}2\approx0{,}3010 décadas e a inclinação nesse intervalo é -20 dB/dec, então a variação é -20\cdot0{,}3010\approx-6{,}02 dB. 20\log_{10}|H(j20)|_{\text{assint}} \approx -33{,}93 + (-6{,}02) = -39{,}95\\ \text{dB}.
    • De \omega=20 para \omega=100 é \log_{10}(100/20)=\log_{10}5\approx0{,}6990 décadas; a inclinação é 0 dB/dec, então não muda: 20\log_{10}|H(j100)|_{\text{assint}} \approx -39{,}95\\ \text{dB}.
    • Para \omega=1000 (uma década acima de 100) a inclinação é -20 dB/dec, então 20\log_{10}|H(j1000)|_{\text{assint}} \approx -39{,}95 + (-20)\cdot 1 = -59{,}95\\ \text{dB}.
  • Resumo numérico (pontos-chave da assíntota de magnitude):
    • \omega=1: +6{,}07 dB (âncora calculada).
    • \omega=10: -33{,}93 dB (após 1 década com slope -40 dB/dec).
    • \omega=20: -39{,}95 dB.
    • \omega=100: -39{,}95 dB (plano).
    • \omega=1000: -59{,}95 dB.
  • Como desenhar a magnitude assintótica:
    1. Em escala log-log para o eixo \omega (por exemplo de 10^{-1} a 10^{4}).
    2. Marque \omega=10,20,100.
    3. No intervalo \omega<10 trace uma reta com slope -40 dB/dec que passe por (\omega=1,\;6{,}07\\ \text{dB}).
    4. Em \omega=10 o slope muda para -20 dB/dec; em \omega=20 muda para 0 dB/dec; em \omega=100 muda para -20 dB/dec. Ligue os trechos com essas inclinações (linhas retas) para obter a assíntota da magnitude.

Passo 6

Discussão e observação sobre a diferença entre assíntota e magnitude exata.
  • A assíntota apresenta quebras angulares nos cantos e retas; a resposta exata é mais suave (ver imagem com curva tracejada). No entorno de cada canto a curva real “se aproxima” da assíntota, mas pode ter um pico local ou desvio de alguns dB perto do canto.
  • Usei \omega=1 como ancoragem por ser prático; se preferir ancorar em outro ponto (por ex. em \omega=10 usando o valor exato) o procedimento é o mesmo (calcular um ponto exato e propagar pelas inclinações).

Passo 7

Montagem da assíntota da fase (método e valores aproximados em frequências-chaves).
  • Fórmula exata para a fase (útil para verificar valores): \angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)+\arctan\!\left(\frac{\omega}{20}\right) -2\cdot 90^\circ -\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).Aqui usei que \arg(j\omega) = +90^\circ, então s^{2} (denom) dá subtração de 2\cdot 90^\circ=180^\circ.
  • Regra assintótica (reta) para cada pólo/zero de 1ª ordem:
    • A transição de fase de 0^\circ para \pm90^\circ ocorre aproximadamente entre \omega_c/10 e 10\omega_c, com valor aproximado de \pm45^\circ em \omega=\omega_c.
  • Aplicando isso ao caso:
    • Dois polos na origem ( s^{2}): fase constante -180^\circ (toda frequência).
    • Zero em 10: gera +90° total entre 1 e 100 (aprox. rampa linear assintótica de +45^\circ em \omega=10).
    • Zero em 20: gera +90° total entre 2 e 200.
    • Polo em 100: gera -90^\circ total entre 10 e 1000.
  • Assim, construindo a fase assintótica (retas):
    • Para \omega<1 (menor que \omega_{z1}/10): zeros/polo de alta frequência ainda não influenciam: fase ≈ -180^\circ.
    • Entre 1 e 2: o zero em 10 começa a subir, o zero em 20 ainda pouco; fase sobe gradualmente de -180^\circ.
    • Em \omega=10 (ponto médio do zero 10): contribuição do zero em 10 ≈ +45^\circ; contribuição do zero em 20 ≈ + \arctan(10/20)\approx26{,}6^\circ (se quiser a aproximação exata); contribuição do polo 100 ≈ \arctan(10/100)=5{,}71^\circ (subtrai). Usando a expressão exata dá um valor aproximado de -114{,}1^\circ (veja cálculos numéricos abaixo).
    • Em \omega=20: faz-se o mesmo; em \omega=100 e em \omega\gg100 a fase tende a -90^\circ (porque, para \omega\to\infty, os dois zeros totalizam +180^\circ, o termo s^{2} -180^\circ, e o polo em 100 dá mais -90^\circ: +180-180-90=-90^\circ).
  • Valores numéricos da fase (usando a fórmula exata) em frequências úteis:
    • \omega=1: \angle H(j1)\approx\arctan(0{,}1)+\arctan(0{,}05)-180^\circ-\arctan(0{,}01)\approx -172{,}0^\circ.
    • \omega=10: \angle H(j10)\approx 45^\circ +26{,}565^\circ -180^\circ -5{,}711^\circ \approx -114{,}15^\circ.
    • \omega=20: \angle H(j20)\approx 63{,}435^\circ +45^\circ -180^\circ -11{,}31^\circ \approx -82{,}88^\circ.
    • \omega=100: \angle H(j100)\approx 84{,}29^\circ +78{,}69^\circ -180^\circ -45^\circ \approx -62{,}02^\circ.
    • \omega\to\infty: \angle H\to -90^\circ (limite).
  • Como desenhar a fase assintótica:
    1. Marque intervalos de transição: [1,100] para o zero em 10, [2,200] para o zero em 20, [10,1000] para o polo em 100 (essas são as faixas \omega_c/10 a 10\omega_c).
    2. Desenhe retas lineares que representam o aumento/decréscimo de fase em cada faixa, somando as contribuições (lembre que s^{2} já começa em -180^\circ para todas as \omega).
    3. Verifique com os valores numéricos em \omega=1,10,20,100 para posicionar corretamente as retas.

Passo 8

Instruções finais passo-a-passo para desenhar ambos os gráficos (resumo rápido para usar na prova).
  • Eixo horizontal: \omega logarítmico (rad/s). Marque: 10^{-1},10^{0},10^{1},10^{2},10^{3},10^{4}.
  • Magnitude (dB):
    1. Em \omega=1 marque +6{,}07 dB (âncora).
    2. Trace reta até \omega=10 com slope -40 dB/dec atingindo -33{,}93 dB.
    3. A partir de \omega=10 mude para slope -20 dB/dec até \omega=20 (chegando em -39{,}95 dB).
    4. De \omega=20 a \omega=100 slope 0 dB/dec (reta horizontal em -39{,}95 dB).
    5. A partir de \omega=100 slope -20 dB/dec (por exemplo em \omega=1000 terá -59{,}95 dB).
  • Fase (graus):
    1. Para \omega<1 faça a reta aproximada em -180^\circ.
    2. Entre 1 e 100 suba linearmente devido ao zero de 10 (contribuição total +90^\circ).
    3. Entre 2 e 200 some a rampa do zero em 20 (outros +90^\circ).
    4. Entre 10 e 1000 subtraia a rampa do polo em 100 (−90°).
    5. Resultado: valores aproximados nos pontos 1,10,20,100 mostrados no passo anterior; para \omega\to\infty a fase tende a -90^\circ.

Resposta

Breakpoints: \omega=10,\;20,\;100 (além dos polos na origem).
Magnitude assintótica (dB/dec por intervalo) e valores em pontos-chave:
  • \omega<10: slope -40 dB/dec. Em \omega=1: 20\log_{10}|H(j1)|\approx 6{,}07\\ \text{dB}.
  • 10<\omega<20: slope -20 dB/dec. Em \omega=10: \approx -33{,}93\\ \text{dB}.
  • 20<\omega<100: slope 0 dB/dec (plano). Em \omega=20 e \omega=100: \approx -39{,}95\\ \text{dB}.
  • \omega>100: slope -20 dB/dec. Em \omega=1000: \approx -59{,}95\\ \text{dB}.
Fase assintótica (resumo e valores aproximados):
  • Para \omega\ll1: \angle H\approx -180^\circ.
  • \omega=1: \angle H\approx -172{,}0^\circ.
  • \omega=10: \angle H\approx -114{,}15^\circ.
  • \omega=20: \angle H\approx -82{,}88^\circ.
  • \omega=100: \angle H\approx -62{,}02^\circ.
  • \omega\to\infty: \angle H\to -90^\circ.
(Com essas retas e pontos você já consegue desenhar o diagrama de Bode assintótico da função dada.)

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