Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(c) \frac{(s+10)(s+200)}{(s+20)^{2}(s+1000)}
Passo 1
O enunciado pede: desenhar o diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{(s+10)(s+200)}{(s+20)^{2}(s+1000)}.
Informações fornecidas (cada uma extraída diretamente do enunciado):
Zeros em s=-10 e s=-200.
Polos em s=-20 (polo de multiplicidade 2) e s=-1000.
Para o diagrama de Bode usamos s=j\omega e trabalharemos com magnitude em dB: 20\log_{10}|H(j\omega)| e fase em graus.
Passo 2
Breve lembrete didático do que vamos usar (sem pular etapas):
Um fator do tipo (s+\omega_c) (zero) acrescenta, para \omega\gg\omega_c, um comportamento em magnitude com inclinação de +20\\ \text{dB/dec} e contribui na fase com até +90^\circ (transição principal entre 0,1\omega_c e 10\omega_c).
Um fator do tipo (s+\omega_c)^{-1} (polo) acrescenta, para \omega\gg\omega_c, uma inclinação de -20\\ \text{dB/dec} e contribui na fase com até -90^\circ (mesma janela de transição).
Para polos de multiplicidade 2, a inclinação é o dobro: -40\\ \text{dB/dec} e fase total -180^\circ ao final da transição.
Para trabalhar em dB usamos a regra: multiplicação vira soma em dB, divisão vira subtração em dB; a contribuição de um monômio j\omega é 20\log_{10}\omega (ou \pm 20 dB/dec dependente do expoente).
Para o traçado assintótico de magnitude: começamos por calcular o ganho em baixa frequência (DC) e, a partir dele, aplicamos as mudanças de inclinação em cada frequência de canto (break frequency).
Passo 3
Calcular o ganho em \omega=0 (DC). Para \omega\to0 temos |j\omega+\omega_c|\approx\omega_c. Assim
Portanto o nível DC (para \omega\ll 10) é -46{,}02\\ \text{dB}.
Passo 4
Identificar as frequências de canto (valores absolutos):
Zero em \omega=10.
Polo duplo em \omega=20.
Zero em \omega=200.
Polo em \omega=1000.
Ordenando: 10,\;20,\;200,\;1000.
Efeitos na inclinação (a cada passagem por uma frequência de canto):
Em \omega=10: aparece um zero \Rightarrow inclinação sobe +20\\ \text{dB/dec}.
Em \omega=20: aparece um polo duplo \Rightarrow inclinação cai -40\\ \text{dB/dec} (soma com o anteriormente +20 dá net -20\\ \text{dB/dec}).
Em \omega=200: aparece um zero \Rightarrow inclinação sobe +20\\ \text{dB/dec} (soma net volta a 0\\ \text{dB/dec}).
Em \omega=1000: aparece um polo \Rightarrow inclinação cai -20\\ \text{dB/dec} (net final -20\\ \text{dB/dec}).
Passo 5
Construir a magnitude assintótica (trechos e níveis). Começamos do DC:
Para \omega<10: inclinação 0\\ \text{dB/dec}. Nível = -46{,}02\\ \text{dB}.
Entre 10 e 20: após \omega=10 a inclinação é +20\\ \text{dB/dec}. Uma vez que 20 é uma meia década (na verdade é uma razão 2 entre 10 e 20), o ganho aumenta por:
por década +20 dB/dec → por oitava (fator 2) o aumento é 20\log_{10}(2)\approx 6{,}02\\ \text{dB}.
Logo, imediatamente antes de \omega=20 o nível assintótico é
Para \omega logo após 20 e até 200: o polo duplo introduz -40\\ \text{dB/dec}; combinado com o anterior +20 resulta em inclinação net -20\\ \text{dB/dec}. Assim, de 20 a 200 (uma década) a magnitude assintótica decresce 20\\ \text{dB}. Portanto em \omega=200 o nível assintótico será
Para \omega entre 200 e 1000: o zero em 200 adiciona +20\\ \text{dB/dec}, portanto a inclinação net fica 0\\ \text{dB/dec} (plano). Logo o nível assintótico permanece -60{,}00\\ \text{dB} até \omega=1000.
Para \omega>1000: o polo em 1000 adiciona -20\\ \text{dB/dec} e a inclinação final passa a -20\\ \text{dB/dec}. Por exemplo, em \omega=10000 (uma década acima de 1000) a magnitude assintótica será
Resumo de pontos úteis para desenhar a magnitude assintótica:
\omega=0^+: -46{,}02\\ \text{dB} (plano até 10).
\omega=10: manter -46{,}02\\ \text{dB} e começar a subida +20 dB/dec.
\omega=20: cerca de -40{,}00\\ \text{dB} e daí inclinação passa a -20\\ \text{dB/dec}.
\omega=200: cerca de -60{,}00\\ \text{dB} e daí plano até 1000.
\omega=1000: -60{,}00\\ \text{dB} e daí decai -20\\ \text{dB/dec}.
Observação: esses são valores assintóticos. O diagrama real (curva exata) é levemente diferente ao redor das frequências de canto (pequenos desvios de alguns dB); o assintótico é o que se desenha normalmente à mão na prova.
Passo 6
Exemplo de verificação numérica (valor exato em \omega=200) para comparar com o assintótico:
Comparação: o assintótico deu -60\\ \text{dB} em \omega=200; o valor exato é aproximadamente -57{,}2\\ \text{dB}. Essa diferença de poucos dB é típica perto das frequências de canto.
Passo 7
Como desenhar fisicamente o diagrama de magnitude (passo a passo prático para a prova):
Eixo horizontal: escala logaritmica em \omega (por ex. de 10^{-1} até 10^{4}). Eixo vertical: 20\log_{10}|H(j\omega)| em dB.
Marcar as frequências de canto em 10, 20, 200, 1000.
Traçar a linha horizontal em -46{,}02\\ \text{dB} até \omega=10.
A partir de \omega=10 subir com inclinação +20\\ \text{dB/dec} até \omega=20.
A partir de \omega=20 descer com inclinação -20\\ \text{dB/dec} (porque o polo duplo mais tarde anula a subida) até \omega=200.
Em \omega=200 nivelar (inclinação 0\\ \text{dB/dec}) até \omega=1000.
Para \omega>1000 traçar queda -20\\ \text{dB/dec}.
Se quiser, marque os pontos numéricos que calculamos: -46{,}02\\ \text{dB} (DC), -40{,}00\\ \text{dB} aproximado em 20, -60{,}00\\ \text{dB} em 200 (assintótico) e -80{,}00\\ \text{dB} em 10^{4}.
Passo 8
Construir a fase (abordagem didática e cálculo de alguns pontos para orientar o esboço):
(isto faz sentido: a ordem polinomial do denominador excede a do numerador por uma unidade, logo fase final -90^\circ.)
Como desenhar a fase assintótica à mão (regra prática):
Para cada zero/polo faça a transição linear aproximada entre 0{,}1\omega_c e 10\omega_c: em \omega=0{,}1\omega_c contribuição ≈ 0^\circ; em \omega=\omega_c contribuição ≈ \pm 45^\circ; em \omega=10\omega_c contribuição ≈ \pm 90^\circ.
Some verticalmente (sinal + para zeros, sinal − para polos; polo duplo duplica a queda).
Trace a curva resultante passando pelos pontos aproximados que calculamos.
Passo 9
Resumo prático para a prova (o que desenhar e escrever no gráfico):
Magnitude (assintótica):
Nível DC: -46{,}02\\ \text{dB} até \omega=10.
\omega=10 a \omega=20: inclinação +20\\ \text{dB/dec}.
\omega=20 a \omega=200: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
\omega=200 a \omega=1000: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (plano).
Magnitude (assintótica, em dB e por trechos): -46{,}02\\ \text{dB} para \omega<10
de 10 a 20: inclinação +20\\ \text{dB/dec} (aprox. -40{,}00\\ \text{dB} em \omega=20)
de 20 a 200: inclinação -20\\ \text{dB/dec} (aprox. -60{,}00\\ \text{dB} em \omega=200)
de 200 a 1000: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (nível aprox. -60{,}00\\ \text{dB}) \omega>1000: inclinação -20\\ \text{dB/dec} (aprox. -80{,}00\\ \text{dB} em \omega=10^{4})