Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(c) \frac{(s+10)(s+200)}{(s+20)^{2}(s+1000)}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar o diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{(s+10)(s+200)}{(s+20)^{2}(s+1000)}.
Informações fornecidas (cada uma extraída diretamente do enunciado):
  • Zeros em s=-10 e s=-200.
  • Polos em s=-20 (polo de multiplicidade 2) e s=-1000.
  • Para o diagrama de Bode usamos s=j\omega e trabalharemos com magnitude em dB: 20\log_{10}|H(j\omega)| e fase em graus.

Passo 2

Breve lembrete didático do que vamos usar (sem pular etapas):
  • Um fator do tipo (s+\omega_c) (zero) acrescenta, para \omega\gg\omega_c, um comportamento em magnitude com inclinação de +20\\ \text{dB/dec} e contribui na fase com até +90^\circ (transição principal entre 0,1\omega_c e 10\omega_c).
  • Um fator do tipo (s+\omega_c)^{-1} (polo) acrescenta, para \omega\gg\omega_c, uma inclinação de -20\\ \text{dB/dec} e contribui na fase com até -90^\circ (mesma janela de transição).
  • Para polos de multiplicidade 2, a inclinação é o dobro: -40\\ \text{dB/dec} e fase total -180^\circ ao final da transição.
  • Para trabalhar em dB usamos a regra: multiplicação vira soma em dB, divisão vira subtração em dB; a contribuição de um monômio j\omega é 20\log_{10}\omega (ou \pm 20 dB/dec dependente do expoente).
  • Para o traçado assintótico de magnitude: começamos por calcular o ganho em baixa frequência (DC) e, a partir dele, aplicamos as mudanças de inclinação em cada frequência de canto (break frequency).

Passo 3

Calcular o ganho em \omega=0 (DC). Para \omega\to0 temos |j\omega+\omega_c|\approx\omega_c. Assim
|H(0)|=\frac{10\cdot 200}{20^{2}\cdot 1000}.
Vamos calcular passo a passo:
10\cdot 200 = 2000, \qquad 20^{2}=400, \qquad 400\cdot 1000 = 400000,
|H(0)|=\frac{2000}{400000}=0{,}005.
Em dB:
20\log_{10}|H(0)|=20\log_{10}(0{,}005)=20\big(\log_{10}(5)-3\big)=20(-2{,}30103)\approx -46{,}02\\ \text{dB}.
Portanto o nível DC (para \omega\ll 10) é -46{,}02\\ \text{dB}.

Passo 4

Identificar as frequências de canto (valores absolutos):
  • Zero em \omega=10.
  • Polo duplo em \omega=20.
  • Zero em \omega=200.
  • Polo em \omega=1000.
Ordenando: 10,\;20,\;200,\;1000.
Efeitos na inclinação (a cada passagem por uma frequência de canto):
  • Em \omega=10: aparece um zero \Rightarrow inclinação sobe +20\\ \text{dB/dec}.
  • Em \omega=20: aparece um polo duplo \Rightarrow inclinação cai -40\\ \text{dB/dec} (soma com o anteriormente +20 dá net -20\\ \text{dB/dec}).
  • Em \omega=200: aparece um zero \Rightarrow inclinação sobe +20\\ \text{dB/dec} (soma net volta a 0\\ \text{dB/dec}).
  • Em \omega=1000: aparece um polo \Rightarrow inclinação cai -20\\ \text{dB/dec} (net final -20\\ \text{dB/dec}).

Passo 5

Construir a magnitude assintótica (trechos e níveis). Começamos do DC:
  • Para \omega<10: inclinação 0\\ \text{dB/dec}. Nível = -46{,}02\\ \text{dB}.
  • Entre 10 e 20: após \omega=10 a inclinação é +20\\ \text{dB/dec}. Uma vez que 20 é uma meia década (na verdade é uma razão 2 entre 10 e 20), o ganho aumenta por:
    • por década +20 dB/dec → por oitava (fator 2) o aumento é 20\log_{10}(2)\approx 6{,}02\\ \text{dB}.
    • Logo, imediatamente antes de \omega=20 o nível assintótico é
-46{,}02\\ \text{dB} + 6{,}02\\ \text{dB} \approx -40{,}00\\ \text{dB}.
  • Para \omega logo após 20 e até 200: o polo duplo introduz -40\\ \text{dB/dec}; combinado com o anterior +20 resulta em inclinação net -20\\ \text{dB/dec}. Assim, de 20 a 200 (uma década) a magnitude assintótica decresce 20\\ \text{dB}. Portanto em \omega=200 o nível assintótico será
-40{,}00\\ \text{dB} -20{,}00\\ \text{dB} = -60{,}00\\ \text{dB}.
  • Para \omega entre 200 e 1000: o zero em 200 adiciona +20\\ \text{dB/dec}, portanto a inclinação net fica 0\\ \text{dB/dec} (plano). Logo o nível assintótico permanece -60{,}00\\ \text{dB} até \omega=1000.
  • Para \omega>1000: o polo em 1000 adiciona -20\\ \text{dB/dec} e a inclinação final passa a -20\\ \text{dB/dec}. Por exemplo, em \omega=10000 (uma década acima de 1000) a magnitude assintótica será
-60{,}00\\ \text{dB} -20{,}00\\ \text{dB} = -80{,}00\\ \text{dB}.
Resumo de pontos úteis para desenhar a magnitude assintótica:
  • \omega=0^+: -46{,}02\\ \text{dB} (plano até 10).
  • \omega=10: manter -46{,}02\\ \text{dB} e começar a subida +20 dB/dec.
  • \omega=20: cerca de -40{,}00\\ \text{dB} e daí inclinação passa a -20\\ \text{dB/dec}.
  • \omega=200: cerca de -60{,}00\\ \text{dB} e daí plano até 1000.
  • \omega=1000: -60{,}00\\ \text{dB} e daí decai -20\\ \text{dB/dec}.
Observação: esses são valores assintóticos. O diagrama real (curva exata) é levemente diferente ao redor das frequências de canto (pequenos desvios de alguns dB); o assintótico é o que se desenha normalmente à mão na prova.

Passo 6

Exemplo de verificação numérica (valor exato em \omega=200) para comparar com o assintótico:
|H(j200)|=\frac{\sqrt{200^{2}+10^{2}}\;\sqrt{200^{2}+200^{2}}}{\big(\sqrt{200^{2}+20^{2}}\big)^{2}\sqrt{1000^{2}+200^{2}}}.
Calculando passo a passo (aproximações decimais):
\sqrt{200^{2}+10^{2}}\approx 200{,}249,\quad \sqrt{200^{2}+200^{2}}\approx 282{,}843,
\sqrt{200^{2}+20^{2}}\approx 201{,}0\quad\Rightarrow\quad\big(\sqrt{200^{2}+20^{2}}\big)^{2}=40400,
\sqrt{1000^{2}+200^{2}}\approx 1019{,}80.
Logo
|H(j200)|\approx\frac{200{,}249\cdot 282{,}843}{40400\cdot 1019{,}80}\approx 0{,}001375,
em dB:
20\log_{10}(0{,}001375)\approx -57{,}2\\ \text{dB}.
Comparação: o assintótico deu -60\\ \text{dB} em \omega=200; o valor exato é aproximadamente -57{,}2\\ \text{dB}. Essa diferença de poucos dB é típica perto das frequências de canto.

Passo 7

Como desenhar fisicamente o diagrama de magnitude (passo a passo prático para a prova):
  1. Eixo horizontal: escala logaritmica em \omega (por ex. de 10^{-1} até 10^{4}). Eixo vertical: 20\log_{10}|H(j\omega)| em dB.
  2. Marcar as frequências de canto em 10, 20, 200, 1000.
  3. Traçar a linha horizontal em -46{,}02\\ \text{dB} até \omega=10.
  4. A partir de \omega=10 subir com inclinação +20\\ \text{dB/dec} até \omega=20.
  5. A partir de \omega=20 descer com inclinação -20\\ \text{dB/dec} (porque o polo duplo mais tarde anula a subida) até \omega=200.
  6. Em \omega=200 nivelar (inclinação 0\\ \text{dB/dec}) até \omega=1000.
  7. Para \omega>1000 traçar queda -20\\ \text{dB/dec}.
  8. Se quiser, marque os pontos numéricos que calculamos: -46{,}02\\ \text{dB} (DC), -40{,}00\\ \text{dB} aproximado em 20, -60{,}00\\ \text{dB} em 200 (assintótico) e -80{,}00\\ \text{dB} em 10^{4}.

Passo 8

Construir a fase (abordagem didática e cálculo de alguns pontos para orientar o esboço):
  • A fase total é soma das fases dos fatores:
\varphi(\omega)=\underbrace{\angle(j\omega+10)}_{+} + \underbrace{\angle(j\omega+200)}_{+} -2\underbrace{\angle(j\omega+20)}_{\text{polo duplo}} -\underbrace{\angle(j\omega+1000)}_{-}.
  • Para uma interpretação exata podemos usar a fórmula em arctan (em graus):
\angle(j\omega+\omega_c)=\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{\omega_c}\big)\quad(\text{em graus}),
com sinal positivo para zeros e negativo para polos. Para o polo duplo, multiplica-se por 2.
  • Vou calcular alguns pontos representativos (valores aproximados, úteis para desenhar a fase):
  1. \omega=1 (bem abaixo do primeiro canto): todos os \arctan são pequenos → \varphi\approx 0^\circ.
  2. \omega=10:
\varphi(10)\approx \arctan\!\big(\tfrac{10}{10}\big) -2\arctan\!\big(\tfrac{10}{20}\big) + \arctan\!\big(\tfrac{10}{200}\big) - \arctan\!\big(\tfrac{10}{1000}\big).
Numericamente (valores aproximados em graus):
\varphi(10)\approx 45^\circ -2(26{,}565^\circ) +2{,}86^\circ -0{,}57^\circ \approx -5{,}8^\circ.
  1. \omega=20:
\varphi(20)\approx 63{,}43^\circ -2(45^\circ) +5{,}71^\circ -1{,}15^\circ \approx -22^\circ.
  1. \omega=200:
\varphi(200)\approx 87{,}14^\circ -2(84{,}29^\circ) +45^\circ -11{,}31^\circ \approx -48^\circ.
  1. \omega=1000:
\varphi(1000)\approx 89{,}43^\circ -2(88{,}85^\circ) +78{,}69^\circ -45^\circ \approx -55^\circ.
  1. \omega\to\infty: cada \arctan(\omega/\omega_c)\to 90^\circ, então
\varphi(\infty)=+90^\circ +90^\circ -2\cdot 90^\circ -90^\circ = -90^\circ.
(isto faz sentido: a ordem polinomial do denominador excede a do numerador por uma unidade, logo fase final -90^\circ.)
  • Como desenhar a fase assintótica à mão (regra prática):
    • Para cada zero/polo faça a transição linear aproximada entre 0{,}1\omega_c e 10\omega_c: em \omega=0{,}1\omega_c contribuição ≈ 0^\circ; em \omega=\omega_c contribuição ≈ \pm 45^\circ; em \omega=10\omega_c contribuição ≈ \pm 90^\circ.
    • Some verticalmente (sinal + para zeros, sinal − para polos; polo duplo duplica a queda).
    • Trace a curva resultante passando pelos pontos aproximados que calculamos.

Passo 9

Resumo prático para a prova (o que desenhar e escrever no gráfico):
  • Magnitude (assintótica):
    • Nível DC: -46{,}02\\ \text{dB} até \omega=10.
    • \omega=10 a \omega=20: inclinação +20\\ \text{dB/dec}.
    • \omega=20 a \omega=200: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • \omega=200 a \omega=1000: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (plano).
    • \omega>1000: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • Pontos numéricos assintóticos úteis: \omega=10:\\\ -46{,}02\\ \text{dB}; \omega=20:\\\ -40{,}00\\ \text{dB}; \omega=200:\\\ -60{,}00\\ \text{dB}; \omega=10000:\\\ -80{,}00\\ \text{dB}.
  • Fase (assintótica / aproximada):
    • \omega\ll 10:\\ \varphi\approx 0^\circ.
    • \omega=10:\\ \varphi\approx -6^\circ.
    • \omega=20:\\ \varphi\approx -22^\circ.
    • \omega=200:\\ \varphi\approx -48^\circ.
    • \omega=1000:\\ \varphi\approx -55^\circ.
    • \omega\to\infty:\\ \varphi\to -90^\circ.

Resposta

Magnitude (assintótica, em dB e por trechos):
-46{,}02\\ \text{dB} para \omega<10
de 10 a 20: inclinação +20\\ \text{dB/dec} (aprox. -40{,}00\\ \text{dB} em \omega=20)
de 20 a 200: inclinação -20\\ \text{dB/dec} (aprox. -60{,}00\\ \text{dB} em \omega=200)
de 200 a 1000: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (nível aprox. -60{,}00\\ \text{dB})
\omega>1000: inclinação -20\\ \text{dB/dec} (aprox. -80{,}00\\ \text{dB} em \omega=10^{4})
Fase (aproximações úteis):
\varphi( \omega\ll10)\approx 0^\circ
\varphi(10)\approx -6^\circ
\varphi(20)\approx -22^\circ
\varphi(200)\approx -48^\circ
\varphi(1000)\approx -55^\circ
\varphi(\infty)\to -90^\circ

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