Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(a) \frac{s(s+100)}{(s+2)(s+20)}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar o Diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) da função de transferência
H(s)=\frac{s(s+100)}{(s+2)(s+20)}.
Informações dadas (fatores extraídos do enunciado):
  • Numerador: termo s (zero na origem) e zero real em s=-100.
  • Denominador: polos reais em s=-2 e s=-20.
  • Pergunta: construir os diagramas de magnitude (em dB) e de fase (em graus) em aproximação assintótica (linhas retas de Bode), indicando frequências de canto e comportamentos em cada faixa.

Passo 2

Identificar polos/zeros e frequências de canto (em rad/s):
  • Zero na origem: fator s → efeito de +20\\ \text{dB/dec} e +90^\circ (constante) no total de fase.
  • Zero real em s=-100 → frequência de canto \omega_z=100.
  • Polo em s=-2 \omega_{p1}=2.
  • Polo em s=-20 \omega_{p2}=20.
Resumo das frequências de canto: \;2,\;20,\;100 (além do efeito do zero na origem).

Passo 3

Como montar o diagrama assintótico (regra prática usada aqui):
  • Magnitude em dB: a contribuição de cada fator multiplicativo soma em dB: 20\log_{10}|H(j\omega)| = 20\log_{10}|\omega| + 20\log_{10}\big|1+j\frac{\omega}{100}\big|-20\log_{10}\big|1+j\frac{\omega}{2}\big|-20\log_{10}\big|1+j\frac{\omega}{20}\big|.Na aproximação assintótica, cada termo (1+j\omega/\omega_c) contribui com:
    • para \omega\ll\omega_c: 0 dB (constante),
    • para \omega\gg\omega_c: \pm 20\log_{10}(\omega/\omega_c) (sinal + para zero, - para polo),
      e a mudança de inclinação ocorre na \omega_c (desenhar a linha reta que muda de inclinação em \omega_c).
  • Fase: cada polo/zero de primeira ordem contribui com uma variação em torno de sua \omega_c. Na aproximação assintótica de fase usamos:
    • Para um polo simples em \omega_c: fase passa de 0^\circ para -90^\circ linearmente entre 0,1\omega_c e 10\omega_c com inclinação -45^\circ/dec.
    • Para um zero simples em \omega_c: fase passa de 0^\circ para +90^\circ entre 0,1\omega_c e 10\omega_c com inclinação +45^\circ/dec.
    • O zero na origem ( s) adiciona +90^\circ em toda a faixa (é um termo de fase constante).

Passo 4

Construir a magnitude assintótica faixa a faixa, calculando interceptos úteis.
  1. Faixa \omega\ll 2 (por exemplo \omega=1 é << polos? aqui \omega=1 < 2):
  • Aproximação: (s+2)\approx 2,\; (s+20)\approx 20,\; (s+100)\approx 100.
  • Logo |H(j\omega)|\approx \frac{\omega\cdot 100}{2\cdot 20}=\omega\cdot 2{,}5.Em dB: 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx 20\log_{10}(2{,}5)+20\log_{10}(\omega).O termo constante é 20\log_{10}(2{,}5)\approx 7{,}959\\ \text{dB},portanto a reta nesta faixa tem inclinação +20\\ \text{dB/dec} e passa por \;(\omega=1,\;7{,}959\\ \text{dB}).
    Exemplos:
    • \omega=0{,}1:\\\ 20\log_{10}|H|\approx 7{,}959+20\log_{10}(0{,}1)=7{,}959-20=-12{,}041\\ \text{dB}.
  1. Em \omega ao redor de \omega=2: o polo em 2 entra e reduz a inclinação em 20 dB/dec.
  • Efeito: a inclinação passa de +20 para 0 dB/dec (porque o polo cancela a contribuição do zero na origem).
  • Valor assintótico logo após \omega=2 (avaliando a reta anterior em \omega=2): 20\log_{10}|H|(2)\approx 7{,}959+20\log_{10}(2)=7{,}959+6{,}021\approx 13{,}980\\ \text{dB}.Portanto para 2<\omega<20 a reta é praticamente plana em 13{,}98\\ \text{dB}.
  1. Em \omega=20: o polo em 20 entra.
  • Antes de 20 temos a platô 13{,}98\\ \text{dB}. Ao cruzar 20, adiciona-se uma inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
  • Para 20<\omega<100 a inclinação é -20\\ \text{dB/dec}.
  • Avaliando no ponto \omega=100 pela reta que tem -20\\ \text{dB/dec} a partir de 13{,}98\\ \text{dB} em \omega=20: 20\log_{10}|H|(100)\approx 13{,}98 -20\log_{10}\!\left(\frac{100}{20}\right) =13{,}98 -20\log_{10}(5)=13{,}98 -13{,}98 \approx 0\\ \text{dB}.
  1. Em \omega=100: o zero em 100 entra, introduzindo +20\\ \text{dB/dec}.
  • Antes de 100 a inclinação era -20; após 100 soma-se +20 e a inclinação final fica 0\\ \text{dB/dec}.
  • Assim para \omega>100 a reta assintótica é plana em 0\\ \text{dB} (a condição de alto ganho tende a 1, pois ordem numerador = ordem denominador).
Resumo das retas de magnitude (fácil de plotar):
  • Para \omega<2: inclinação +20\\ \text{dB/dec}, equação assintótica 20\log_{10}|H|\approx 7{,}959 + 20\log_{10}(\omega).
  • Para 2<\omega<20: platau em \approx 13{,}98\\ \text{dB} (inclinação 0).
  • Para 20<\omega<100: inclinação -20\\ \text{dB/dec}, com valor \approx 13{,}98\\ \text{dB} em \omega=20 e \approx 0\\ \text{dB} em \omega=100.
  • Para \omega>100: platau em 0\\ \text{dB}.
Valores assintóticos em pontos úteis:
  • \omega=0{,}1:\\\ -12{,}04\\ \text{dB}.
  • \omega=1:\\\ 7{,}959\\ \text{dB}.
  • \omega=2:\\\ 13{,}98\\ \text{dB}.
  • \omega=20:\\\ 13{,}98\\ \text{dB}.
  • \omega=100:\\\ 0\\ \text{dB}.
  • \omega=1000:\\\ 0\\ \text{dB}.

Passo 5

Construir a fase assintótica (usando a regra 0,1·ωc → 10·ωc para a transição de ±90° de cada polo/zero):
Contribuições individuais (aproximação por somas):
  • Zero na origem: +90^\circ para todas as \omega>0.
  • Polo \omega_{p1}=2: varia de 0^\circ para -90^\circ entre 0{,}2 e 20 ( -45^\circ/dec).
  • Polo \omega_{p2}=20: varia de 0^\circ para -90^\circ entre 2 e 200.
  • Zero \omega_z=100: varia de 0^\circ para +90^\circ entre 10 e 1000.
Calcular fase aproximada em frequências de interesse (soma das contribuições; arredondar razoavelmente):
  • \omega=0{,}1: origin +90^\circ; outros ainda em 0° → total \approx +90^\circ.
  • \omega=1: origin +90^\circ; polo@2 já contribuindo \approx -31{,}5^\circ; outros ~0 → total \approx +58{,}5^\circ.
  • \omega=2: origin +90^\circ; polo@2 \approx -45^\circ; outros ~0 → total \approx +45^\circ.
  • \omega=10: origin +90^\circ; polo@2 \approx -76{,}5^\circ; polo@20 \approx -31{,}5^\circ; zero@100 ainda ~0 → total \approx -18^\circ.
  • \omega=20: origin +90^\circ; polo@2 \approx -90^\circ; polo@20 \approx -45^\circ; zero@100 \approx +13{,}5^\circ → total \approx -31{,}5^\circ.
  • \omega=100: origin +90^\circ; polo@2 -90^\circ; polo@20 \approx -76{,}5^\circ; zero@100 \approx +45^\circ → total \approx -31{,}5^\circ.
  • \omega=1000: origin +90^\circ; polo@2 -90^\circ; polo@20 -90^\circ; zero@100 +90^\circ → total \approx 0^\circ.
Assim, a fase começa em aproximadamente +90^\circ nas baixas frequências, decresce passando por cerca de +45^\circ em \omega\approx 2, fica negativa em torno de algumas dezenas de rad/s (por exemplo -32^\circ em 20 e 100 rad/s) e tende a 0^\circ para \omega\gg 1000.

Passo 6

Instruções para desenhar fisicamente o esboço assintótico (resumo prático):
  • Eixo horizontal: escala log base 10 em \omega.
  • Marcar as frequências de canto: 2,\;20,\;100.
  • Magnitude:
    • Desenhar reta com inclinação +20\\ \text{dB/dec} que passa por (1,\;7{,}959\\ \text{dB}) até \omega=2.
    • A partir de \omega=2 seguir horizontal em 13{,}98\\ \text{dB} até \omega=20.
    • A partir de \omega=20 traçar reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec} que alcança 0\\ \text{dB} em \omega=100.
    • Para \omega>100 traçar horizontal em 0\\ \text{dB}.
  • Fase:
    • Começar em +90^\circ para muito baixa frequência.
    • Entre 0{,}2 e 20 diminuir linearmente (assint.) devido ao polo em 2, totalizando -90^\circ dessa contribuição aos 20.
    • Entre 2 e 200 diminuir mais devido ao polo em 20.
    • Entre 10 e 1000 aumentar devido ao zero em 100 (até +90^\circ adicional).
    • Somar todas as contribuições ponto a ponto; usar os valores aproximados listados no passo anterior como pontos-guia.

Resposta

Pontos principais do diagrama assintótico:
  • Frequências de canto: \omega=2,\;20,\;100.
  • Magnitude (assintótica por faixas):
    • \omega<2:\quad 20\log_{10}|H|\approx 7{,}959 + 20\log_{10}(\omega) (inclinação +20\\ \text{dB/dec}).
    • 2<\omega<20:\quad 20\log_{10}|H|\approx 13{,}98\\ \text{dB} (plato).
    • 20<\omega<100:\quad inclinação -20\\ \text{dB/dec} (vai de 13{,}98\\ \text{dB} em \omega=20 a 0\\ \text{dB} em \omega=100).
    • \omega>100:\quad 20\log_{10}|H|\approx 0\\ \text{dB} (plato).
  • Valores assintóticos em pontos úteis:
    • \omega=0{,}1:\\\ -12{,}04\\ \text{dB}.
    • \omega=1:\\\ 7{,}959\\ \text{dB}.
    • \omega=2:\\\ 13{,}98\\ \text{dB}.
    • \omega=20:\\\ 13{,}98\\ \text{dB}.
    • \omega=100:\\\ 0\\ \text{dB}.
    • \omega=1000:\\\ 0\\ \text{dB}.
  • Fase (assintótica, pontos-guia):
    • \omega=0{,}1:\\ \approx +90^\circ.
    • \omega=1:\\ \approx +58{,}5^\circ.
    • \omega=2:\\ \approx +45^\circ.
    • \omega=10:\\ \approx -18^\circ.
    • \omega=20:\\ \approx -31{,}5^\circ.
    • \omega=100:\\ \approx -31{,}5^\circ.
    • \omega=1000:\\ \approx 0^\circ.

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