Desenhe o diagrama de simulação da equação abaixo:
m \ddot{x}(t)+2 c\left(x^{2}(t)-1\right) \dot{x}(t)+k x(t)=0
em que m, c e k são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de blocos de simulação da equação não linear de segunda ordem
m\,\ddot{x}(t) + 2\,c\bigl(x^2(t)-1\bigr)\,\dot{x}(t) + k\,x(t) = 0
O conteúdo envolvido é modelagem de sistemas dinâmicos por diagrama de blocos, usando integradores, somadores e elementos de ganho e não linearidade.

Passo 2

Isolamos a derivada de segunda ordem \ddot{x}(t):
\ddot{x}(t) \;=\; -\frac{2\,c\bigl(x^2(t)-1\bigr)\,\dot{x}(t) + k\,x(t)}{m}

Passo 3

Definimos as variáveis de estado para implementar dois integradores em cascata:
x_1(t) = x(t), \quad x_2(t) = \dot{x}(t).
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\dot{x}_1(t) = x_2(t), \quad \dot{x}_2(t) = -\frac{2\,c\bigl(x_1^2(t)-1\bigr)\,x_2(t) + k\,x_1(t)}{m}.

Passo 4

Para montar o diagrama de blocos:
  • Dois integradores em série: o primeiro integra \dot{x}_2 para dar x_2, o segundo integra x_2 para dar x_1.
  • Num ramo de realimentação, x_1 vai para um bloco “ao quadrado” e depois para um somador que subtrai 1, gerando \bigl(x_1^2-1\bigr).
  • Esse resultado multiplica x_2 e em seguida um ganho 2c, produzindo o termo 2c\,(x_1^2-1)\,x_2.
  • Paralelamente, x_1 passa por um ganho k, produzindo k\,x_1.
  • Esses dois sinais entram com sinal negativo num somador, cujo resultado é dividido por m para gerar \dot{x}_2.

Resposta

Diagrama de blocos (ASCII art):
┌────────┐               ┌──────────┐      ┌────────────┐
│        │               │  1/s     │      │    1/s     │
│ - þ    │◄──────────────┼──────────┼──────┤────────────┤────► x₁(t)
│   ÷m   │               │integrador│      │ integrador │
└────────┘               └──────────┘      └────────────┘
   ▲                           │               │
   │                           │               │
   │         ┌──────────┐      ▼               │
   │         │ Somador  │─────►x₂(t)───────────┘
   │         └──────────┘
   │       ▲           ▲
   │       │           │
   │   ┌───┴───┐     ┌─┴─┐
   │   │ Ganho │     │ k │
   │   │ 2c    │     └───┘
   │   └───┬───┘       ▲
   │       │           │
   │   ┌───▼───┐     ┌─┴─┐
   │   │Produtor│     │× x₁│
   │   │× x₂    │     └───┘
   │   └───┬───┘       ▲
   │       │           │
   │   ┌───▼───┐     ┌─┴─┐
   │   │ Somar  │     │ –1│
   │   │ x₁²    │     └───┘
   │   └───┬───┘
   │       │
   │   ┌───▼───┐
   │   │Quadra-│
   │   │do x₁  │
   │   └───────┘
Legenda:
  • “1/s”: integrador temporal.
  • Somador superior soma [ -\,2c(x₁²-1)x₂ \;-\;k x₁ ]².
  • O bloco ÷m aplica 1/m.
  • Os sinais de feedback percorrem os blocos de não linearidade e ganhos conforme descrito.

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