Teste se os sistemas mostrados abaixo são lineares.
Controlador industrial do tipo proporcional-integral-derivativo (PID)
u(t)=k_{p} e(t)+k_{i} \int e(t) d t+k_{d} \frac{d e(t)}{d t}
em que k_{p}, k_{i} e k_{d} são constantes conhecidas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o controlador PID
u(t)=k_{p}\,e(t)+k_{i}\,\int e(t)\,dt + k_{d}\,\frac{d e(t)}{dt}
é um sistema linear. O conteúdo aqui é o conceito de linearidade de sistemas contínuos: precisamos usar o princípio da superposição (aditividade + homogeneidade).

Passo 2

Definição de sistema linear: um operador L é linear se, para quaisquer sinais e_{1}(t), e_{2}(t) e quaisquer escalares \alpha,\beta, valer
L\{\alpha\,e_{1}(t)+\beta\,e_{2}(t)\} = \alpha\,L\{e_{1}(t)\} + \beta\,L\{e_{2}(t)\}.

Passo 3

Observamos que o PID é a soma de três operadores:
1. L_{1}\{e\}=k_{p}\,e(t) (multiplicação por constante);
2. L_{2}\{e\}=k_{i}\displaystyle\int e(t)\,dt (integração ponderada);
3. L_{3}\{e\}=k_{d}\,\dfrac{d e(t)}{dt} (diferenciação ponderada).
Cada um desses operadores é linear porque:
  • Multiplicar um sinal por constante preserva aditividade e homogeneidade.
  • A integral é linear: \int[\alpha e_{1}+\beta e_{2}] = \alpha\!\int e_{1}+\beta\!\int e_{2}.
  • A derivada é linear: \dfrac{d}{dt}[\alpha e_{1}+\beta e_{2}] = \alpha\,\dfrac{de_{1}}{dt} + \beta\,\dfrac{de_{2}}{dt}.

Passo 4

A soma de operadores lineares também é linear. Logo, definindo
L\{e\} = L_{1}\{e\} + L_{2}\{e\} + L_{3}\{e\},
segue-se que L é linear.

Passo 5

Verificação direta da superposição: seja e(t)=\alpha\,e_{1}(t)+\beta\,e_{2}(t). Então
u(t) = k_{p}[\alpha e_{1}+\beta e_{2}] + k_{i}\int[\alpha e_{1}+\beta e_{2}]\,dt + k_{d}\frac{d}{dt}[\alpha e_{1}+\beta e_{2}].
Distribuindo constantes e soma:
u(t) =\alpha\bigl(k_{p}e_{1}+k_{i}\!\int e_{1}+k_{d}\,\tfrac{de_{1}}{dt}\bigr) +\beta\bigl(k_{p}e_{2}+k_{i}\!\int e_{2}+k_{d}\,\tfrac{de_{2}}{dt}\bigr) =\alpha\,u_{1}(t)+\beta\,u_{2}(t).
Isso confirma aditividade e homogeneidade.

Resposta

O controlador PID é um sistema linear.

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