Teste se os sistemas mostrados abaixo são lineares.
Controlador industrial do tipo proporcional-integral-derivativo (PID)
em que
e
são constantes conhecidas.
Controlador industrial do tipo proporcional-integral-derivativo (PID)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o controlador PID
é um sistema linear. O conteúdo aqui é o conceito de linearidade de sistemas contínuos: precisamos usar o princípio da superposição (aditividade
homogeneidade).
Passo 2
Definição de sistema linear: um operador
é linear se, para quaisquer sinais
,
e quaisquer escalares
, valer
Passo 3
Observamos que o PID é a soma de três operadores:
.
(multiplicação por constante);
.
(integração ponderada);
.
(diferenciação ponderada).
Cada um desses operadores é linear porque:
- Multiplicar um sinal por constante preserva aditividade e homogeneidade.
- A integral é linear:
. - A derivada é linear:
.
Passo 4
A soma de operadores lineares também é linear. Logo, definindo
segue-se que
é linear.
Passo 5
Verificação direta da superposição: seja
. Então
Distribuindo constantes e soma:
Isso confirma aditividade e homogeneidade.
Resposta
O controlador PID é um sistema linear.