Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
\ddot{x}(t)+3 \dot{x}(t)+6 x(t)=0, com x(0)=0 e \dot{x}(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{x}(t) + 3\,\dot{x}(t) + 6\,x(t) = 0
sujeita às condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=3.
O método será aplicar a transformada de Laplace, resolver algébricamente no domínio s e depois usar a transformada inversa.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de cada termo e usando
\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\} = s\,X(s) - x(0), \quad \mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\} = s^2\,X(s) - s\,x(0) - \dot{x}(0),
obtemos
s^2\,X(s) - s\,x(0) - \dot{x}(0) \;+\; 3\bigl(s\,X(s)-x(0)\bigr) \;+\; 6\,X(s) \;=\; 0.
Como x(0)=0 e \dot{x}(0)=3, isso vira
s^2\,X(s) - 3 \;+\; 3\,s\,X(s) \;+\; 6\,X(s) = 0.

Passo 3

Agrupando os termos em X(s) e isolando, sai
\bigl(s^2 + 3s + 6\bigr)\,X(s) = 3 \quad\Longrightarrow\quad X(s) = \frac{3}{s^2 + 3s + 6}.

Passo 4

Para inverter, completamos o quadrado no denominador:
s^2 + 3s + 6 = \Bigl(s + \tfrac32\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}\Bigr)^2.
Chamando a = \tfrac32 e b = \tfrac{\sqrt{15}}{2}, temos
X(s) = \frac{3}{(s+a)^2 + b^2} = \frac{3/b}{\,(s+a)^2 + b^2\,}\;b \quad\text{com}\quad b=\tfrac{\sqrt{15}}{2}.

Passo 5

Usando
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{b}{(s+a)^2 + b^2}\Bigr\} = e^{-a t}\,\sin(b\,t),
vem
x(t) = \frac{3}{b}\,e^{-a\,t}\,\sin(b\,t) = \frac{3}{\tfrac{\sqrt{15}}{2}}\;e^{-\tfrac{3}{2}t}\, \sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}\,t\bigr) = \frac{6}{\sqrt{15}}\;e^{-\tfrac{3}{2}t}\, \sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}\,t\bigr).

Passo 6

Os polos de X(s) são
s = -\tfrac{3}{2} \pm \mathrm{i}\,\tfrac{\sqrt{15}}{2},
cuja parte real negativa indica que a solução é um sistema subamortecido estável, com oscilações amortecidas.

Resposta

x(t) = \frac{6}{\sqrt{15}}\;e^{-\tfrac{3}{2}t}\, \sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}\,t\bigr).

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