Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
, com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
O método será aplicar a transformada de Laplace, resolver algébricamente no domínio e depois usar a transformada inversa.
O método será aplicar a transformada de Laplace, resolver algébricamente no domínio
Passo 2
Tomando a transformada de Laplace de cada termo e usando
obtemos
Como
e
, isso vira
Passo 3
Agrupando os termos em
e isolando, sai
Passo 4
Para inverter, completamos o quadrado no denominador:
Chamando
e
, temos
Passo 5
Usando
vem
Passo 6
Os polos de
são
cuja parte real negativa indica que a solução é um sistema subamortecido estável, com oscilações amortecidas.