Desenhe as imagens das seguintes curvas:
(f) gamma(t)=(1+sen t, 1+sen t, cos t)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva parametrizada por
gamma(t) = l(1+sen t,;1+sen t,;cos tr),
para t variando em R. O conteúdo é curvas no espaço R^3; vamos identificar em que plano ela vive e reconhecer sua forma geométrica.

Passo 2

Note que em todas as componentes temos x=1+sen t e y=1+sen t, ou seja,
x = y
Isso mostra que a imagem de gamma está contida no plano
(x,y,z)inR^3 mid x = y

Passo 3

Definimos em x=y a coordenada u=x=y. Então
u = 1 + sen t, z = cos t
Daí
(u-1)^2 + z^2 = (sen t)^2 + (cos t)^2 = 1

Passo 4

A equação
(u-1)^2 + z^2 = 1
é a de um círculo de raio 1 no plano das coordenadas (u,z), com centro em (u,z)=(1,0). Voltando às coordenadas originais, isso significa um círculo de raio 1, centrado em
( x,y,z ) = (1,1,0),
no plano x=y.

Passo 5

Para desenhar, imagine o plano x=y cortando o espaço em um ângulo de 45^circ em relação aos eixos x e y. Nele, a curva é exatamente um círculo de raio 1 em torno do ponto (1,1,0). Pontos notáveis:
t =0 to (1,1,1),
t = tfracpi2 to (2,2,0),
t = pi to (1,1,-1),
t = tfrac3pi2 to (0,0,0), voltando em t=2pi para (1,1,1).

Resposta

A imagem de gamma é um círculo de raio 1, centrado em (1,1,0), contido no plano x=y, conforme descrito acima.

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