Usando a definição de limite, prove que:
(e) lim n infty 52+3 n=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que a sequência
an = 52+3n
tende a 0 quando ntoinfty. Vamos usar o critério varepsilon- N: dado varepsilon>0, encontrar NinN tal que para todo n>= N valha
l|an - 0r| < varepsilon

Passo 2

Primeiro estimamos o valor absoluto:
l|an - 0r| = 52+3n
Como 2+3n > 3n para todo n>=1, obtemos
52+3n < 53n

Passo 3

Queremos garantir 53n<varepsilon. Isso equivale a
n > 53varepsilon
Logo, basta escolher
N = maxl1,;llceil 53varepsilonrrceilr
Então, para todo n>= N, temos n>=1 e n>=lceil5/(3varepsilon)rceil, implicando
52+3n < 53n <= 53N < varepsilon

Passo 4

Concluímos que, dado qualquer varepsilon>0, existe N tal que n>= N implica l|an-0r|<varepsilon. Portanto, por definição,
limntoinfty52+3n=0

Resposta

0

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