Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado dá uma curva paramétrica
com parâmetro
, e pede para desenhar a imagem dessa curva plana.
Informações dadas que vou usar:
Informações dadas que vou usar:
- As coordenadas são
e . - O domínio natural indicado é
(valores reais de ).
A tarefa é identificar geometricamente o conjunto de pontose descrever como a curva é percorrida quando varia.
Passo 2
Mostrar que todos os pontos
pertencem à circunferência de raio
centrada na origem. Calculo
:
Coloco em um denominador comum
e somo os numeradores:
Portanto, para todo
,
ou seja, toda imagem está sobre a circunferência unitária.
Passo 3
Explicar a relação com funções trigonométricas (identidade da tangente do meio ângulo), que ajuda a entender a cobertura da circunferência. Faço a substituição
onde
é um ângulo. Então valem as identidades (identidades padrão do ângulo metade):
Comparando com
obtemos, ao tomar
,
Assim cada
é exatamente o ponto da circunferência unitária com coordenadas
.
Passo 4
Determinar quais pontos da circunferência são alcançados por
. Note que
varia, quando
percorre
, da forma
Isso cobre todos os ângulos
entre
e
(extremos não incluídos), portanto a parametrização atinge todos os pontos da circunferência exceto possivelmente o ponto correspondente a
(ou
), que é o mesmo ponto. O ponto
tem coordenadas
Como
nunca atinge exatamente
para
(isso exigiria
), o ponto
não é atingido por nenhum
real, embora seja um ponto-limite quando
.
Posso também inverter explicitamente a parametrização para ver que qualquer ponto
da circunferência com
corresponde a um
. A partir das fórmulas:
Somando
e usando
, obtemos (fórmula clássica):
portanto
válido sempre que
, isto é, sempre que
. Isso mostra que todo ponto da circunferência com
tem um único
que o produz.
Passo 5
Resumo da geometria da imagem e da orientação:
- Conclusão geométrica: a imagem é a circunferência unitária
privada do ponto
. Em símbolos,
- Comportamento nos extremos:
, mas esse ponto não é atingido para finito. - Orientação (sentido de percorrimento quando
aumenta): para tem-se (topo da circunferência). Para tem-se (direita). Para aproxima-se (baixo). Para obtém-se (esquerda). Voltando a chega-se de volta ao topo. Portanto, à medida que cresce, a curva é percorrida no sentido horário (do topo para a direita, para baixo, para a esquerda e de volta ao topo).
Passo 6
Como desenhar na prática (instruções passo a passo para a prova):
- Desenhe a circunferência de raio
centrada na origem. - Marque o ponto
(corresponde a ), o ponto (para ), o ponto (para ) e observe que ao aumentar a parametrização vai do topo para a direita, depois para baixo, aproximando-se de quando . - Não marque
como parte da imagem (é apenas ponto-limite), a não ser que queira indicar com um círculo aberto que esse ponto não é atingido. - Indique uma seta no sentido horário para mostrar a orientação quando
aumenta.
Resposta
A imagem é a circunferência unitária
sem o ponto
.
O ponto é o limite quando
(não é atingido por
finito).
A curva é percorrida no sentido horário à medida que aumenta.
O ponto
A curva é percorrida no sentido horário à medida que