Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\quad \sigma(t)=\left(\frac{2 t}{1+t^{2}}, \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
\sigma(t)=\left(\frac{2t}{1+t^{2}},\;\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right),
com parâmetro t\in\mathbb{R}, e pede para desenhar a imagem dessa curva plana.
Informações dadas que vou usar:
  • As coordenadas são x(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}} e y(t)=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
  • O domínio natural indicado é t\in\mathbb{R} (valores reais de t).
    A tarefa é identificar geometricamente o conjunto de pontos \{\sigma(t):t\in\mathbb{R}\} e descrever como a curva é percorrida quando t varia.

Passo 2

Mostrar que todos os pontos \sigma(t) pertencem à circunferência de raio 1 centrada na origem. Calculo x(t)^{2}+y(t)^{2}:
x(t)^{2}+y(t)^{2} =\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)^{2} +\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)^{2}.
Coloco em um denominador comum (1+t^{2})^{2} e somo os numeradores:
\frac{4t^{2}+(1-2t^{2}+t^{4})}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=1.
Portanto, para todo t\in\mathbb{R},
x(t)^{2}+y(t)^{2}=1,
ou seja, toda imagem está sobre a circunferência unitária.

Passo 3

Explicar a relação com funções trigonométricas (identidade da tangente do meio ângulo), que ajuda a entender a cobertura da circunferência. Faço a substituição
t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right),
onde \theta é um ângulo. Então valem as identidades (identidades padrão do ângulo metade):
\sin\theta=\frac{2\tan(\theta/2)}{1+\tan^{2}(\theta/2)},\qquad \cos\theta=\frac{1-\tan^{2}(\theta/2)}{1+\tan^{2}(\theta/2)}.
Comparando com \sigma(t) obtemos, ao tomar \theta=2\arctan t,
\sigma(t)=(\sin\theta,\cos\theta).
Assim cada \sigma(t) é exatamente o ponto da circunferência unitária com coordenadas (\sin\theta,\cos\theta).

Passo 4

Determinar quais pontos da circunferência são alcançados por t\in\mathbb{R}. Note que \theta=2\arctan t varia, quando t percorre \mathbb{R}, da forma
\theta=2\arctan t\in(-\pi,\pi).
Isso cobre todos os ângulos \theta entre -\pi e \pi (extremos não incluídos), portanto a parametrização atinge todos os pontos da circunferência exceto possivelmente o ponto correspondente a \theta=\pi (ou \theta=-\pi), que é o mesmo ponto. O ponto \theta=\pi tem coordenadas
(\sin\pi,\cos\pi)=(0,-1).
Como \theta nunca atinge exatamente \pm\pi para t\in\mathbb{R} (isso exigiria t=\pm\infty), o ponto (0,-1) não é atingido por nenhum t real, embora seja um ponto-limite quando t\to\pm\infty.
Posso também inverter explicitamente a parametrização para ver que qualquer ponto (x,y) da circunferência com y\neq-1 corresponde a um t\in\mathbb{R}. A partir das fórmulas:
x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad y=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Somando 1+y e usando x, obtemos (fórmula clássica):
1+y=\frac{1+t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{2}{1+t^{2}},
portanto
t=\frac{x}{1+y},
válido sempre que 1+y\neq 0, isto é, sempre que y\neq-1. Isso mostra que todo ponto da circunferência com y\neq-1 tem um único t\in\mathbb{R} que o produz.

Passo 5

Resumo da geometria da imagem e da orientação:
  • Conclusão geométrica: a imagem é a circunferência unitária
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}
privada do ponto (0,-1). Em símbolos,
\operatorname{Im}(\sigma)=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}\setminus\{(0,-1)\}.
  • Comportamento nos extremos: \displaystyle\lim_{t\to\pm\infty}\sigma(t)=(0,-1), mas esse ponto não é atingido para t finito.
  • Orientação (sentido de percorrimento quando t aumenta): para t=0 tem-se \sigma(0)=(0,1) (topo da circunferência). Para t=1 tem-se \sigma(1)=(1,0) (direita). Para t\to+\infty aproxima-se (0,-1) (baixo). Para t=-1 obtém-se \sigma(-1)=(-1,0) (esquerda). Voltando a t=0 chega-se de volta ao topo. Portanto, à medida que t cresce, a curva é percorrida no sentido horário (do topo para a direita, para baixo, para a esquerda e de volta ao topo).

Passo 6

Como desenhar na prática (instruções passo a passo para a prova):
  • Desenhe a circunferência de raio 1 centrada na origem.
  • Marque o ponto (0,1) (corresponde a t=0), o ponto (1,0) (para t=1), o ponto (-1,0) (para t=-1) e observe que ao aumentar t a parametrização vai do topo para a direita, depois para baixo, aproximando-se de (0,-1) quando t\to+\infty.
  • Não marque (0,-1) como parte da imagem (é apenas ponto-limite), a não ser que queira indicar com um círculo aberto que esse ponto não é atingido.
  • Indique uma seta no sentido horário para mostrar a orientação quando t aumenta.

Resposta

A imagem é a circunferência unitária \{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\} sem o ponto (0,-1).
O ponto (0,-1) é o limite quando t\to\pm\infty (não é atingido por t finito).
A curva é percorrida no sentido horário à medida que t aumenta.

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