Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
com
e pede: desenhar a imagem dessa curva (isto é, o conjunto dos pontos
atingidos quando
varia em
).
Informações dadas:
- A componente
é . - A componente
é . - O parâmetro varia em
.
O que se quer: uma descrição clara e prática da curva para que se possa desenhá-la (pontos principais, comportamento nas extremidades, inclinações/tangentes, concavidade).
Passo 2
Eliminação do parâmetro (transformar em equação cartesiana). Da relação
segue que
Substituindo em
obtém-se
Portanto a imagem da parametrização é exatamente o gráfico da função
Explicação didática rápida: a função
é a inversa da exponencial, então resolver
para
dá
. Substituir é um truque comum para passar de parametrizada para cartesiana.
Passo 3
Domínio e faixa de valores:
- Como
, varre todo o eixo real, isto é . - Como
, tem-se para todo . Logo a curva é o gráfico completo de para .
Interpretação prática: ao desenhar, o
varia de
a
e
é sempre positivo.
Passo 4
Tangente e inclinação (para desenhar a orientação e saber quão inclinada é a curva). Vou calcular a derivada
de duas maneiras: pela regra da cadeia usando as derivadas em função de
e também diretamente a partir da expressão cartesiana.
Método via parâmetro:
-
-
A inclinação da curva é
Usando
obtemos a forma simples
Método direto (da forma cartesiana
):
que coincide com o resultado anterior.
Interpretação: a inclinação é proporcional ao próprio valor de
. Para pontos com
pequeno (à esquerda), a curva é quase horizontal; para
grande (à direita) a curva fica cada vez mais inclinada para cima.
Passo 5
Concavidade e curvatura (ajuda a desenhar forma):
Calcule a segunda derivada a partir de :
Calcule a segunda derivada a partir de
Como
para todo
, a curva é estritamente côncava para cima (convexa) em todo o domínio. Isso significa que, ao desenhar, a curva “abre para cima” sem inflexões.
Passo 6
Comportamento nas extremidades (assíntotas úteis):
- Quando
tem-se e . Portanto, à esquerda a curva se aproxima do eixo pela parte superior; isto dá uma assíntota horizontal quando . - Quando
tem-se e . Não há assíntote vertical; a curva cresce exponencialmente para a direita.
Comportamento da inclinação:
- Quando
(à esquerda), : a curva fica quase horizontal. - Quando
, : a curva fica cada vez mais íngreme.
Passo 7
Pontos de referência numéricos para facilitar o desenho (escolha de alguns
simples e coordenadas correspondentes):
-
: -
: com . Então um ponto é aproximadamente . -
: com . -
: pois . Assim o ponto está na curva (útil para ver taxa de crescimento).
Use esses pontos como esqueleto: à esquerda a curva fica próxima de
, passa por
, e à direita sobe rapidamente, mantendo a curvatura para cima.
Passo 8
Orientação prática para desenhar (passo a passo no papel):
- Trace os eixos
e . Marque o eixo (a curva nunca atinge ). - Marque o ponto
. - Marque
e para ter noção da rapidez de crescimento. - Desenhe uma curva suave, crescente e convexa que:
- Para
está muito próxima de (quase horizontal). - Passa por
. - Para
sobe rapidamente (tendendo para ).
- Para
- Verifique a inclinação local usando
: na direita a inclinação é grande; na esquerda, pequena.
Dica de visualização: é o mesmo formato de uma exponencial clássica, só que menos íngreme porque o expoente é
(mais “esticada” horizontalmente que
).
Resposta
A imagem é o gráfico da função
para
(curva crescente, com
, assíntota horizontal
quando
, passando por
e convexa para cima).