Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\quad \sigma(t)=(\ln t, \sqrt[3]{t}), \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\sigma(t)=(\ln t,\;\sqrt[3]{t}) com t>0 e pede: desenhar a imagem dessa curva (isto é, o conjunto dos pontos (x,y) atingidos quando t varia em (0,\infty)).
Informações dadas:
  • A componente x é x=\ln t.
  • A componente y é y=\sqrt[3]{t}=t^{1/3}.
  • O parâmetro varia em t\in(0,\infty).
O que se quer: uma descrição clara e prática da curva para que se possa desenhá-la (pontos principais, comportamento nas extremidades, inclinações/tangentes, concavidade).

Passo 2

Eliminação do parâmetro (transformar em equação cartesiana). Da relação x=\ln t segue que
t=e^{x}.
Substituindo em y=t^{1/3} obtém-se
y=(e^{x})^{1/3}=e^{x/3}.
Portanto a imagem da parametrização é exatamente o gráfico da função
y=e^{x/3},\qquad x\in\mathbb{R}.
Explicação didática rápida: a função \ln é a inversa da exponencial, então resolver x=\ln t para t t=e^x. Substituir é um truque comum para passar de parametrizada para cartesiana.

Passo 3

Domínio e faixa de valores:
  • Como t>0, x=\ln t varre todo o eixo real, isto é x\in(-\infty,\infty).
  • Como y=e^{x/3}, tem-se y>0 para todo x. Logo a curva é o gráfico completo de y=e^{x/3} para x\in\mathbb{R}.
Interpretação prática: ao desenhar, o x varia de -\infty a +\infty e y é sempre positivo.

Passo 4

Tangente e inclinação (para desenhar a orientação e saber quão inclinada é a curva). Vou calcular a derivada dy/dx de duas maneiras: pela regra da cadeia usando as derivadas em função de t e também diretamente a partir da expressão cartesiana.
Método via parâmetro:
  • dx/dt = \dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}.
  • dy/dt = \dfrac{d}{dt}(t^{1/3})=\dfrac{1}{3}t^{-2/3}.
    A inclinação da curva é
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{\tfrac{1}{3}t^{-2/3}}{\tfrac{1}{t}} =\tfrac{1}{3}t^{1/3}.
Usando y=t^{1/3} obtemos a forma simples
\frac{dy}{dx}=\tfrac{1}{3}y.
Método direto (da forma cartesiana y=e^{x/3}):
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(e^{x/3})=\tfrac{1}{3}e^{x/3}=\tfrac{1}{3}y,
que coincide com o resultado anterior.
Interpretação: a inclinação é proporcional ao próprio valor de y. Para pontos com y pequeno (à esquerda), a curva é quase horizontal; para y grande (à direita) a curva fica cada vez mais inclinada para cima.

Passo 5

Concavidade e curvatura (ajuda a desenhar forma):
Calcule a segunda derivada a partir de dy/dx=\tfrac{1}{3}e^{x/3}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{3}e^{x/3}\right)=\tfrac{1}{9}e^{x/3}.
Como \tfrac{1}{9}e^{x/3}>0 para todo x, a curva é estritamente côncava para cima (convexa) em todo o domínio. Isso significa que, ao desenhar, a curva “abre para cima” sem inflexões.

Passo 6

Comportamento nas extremidades (assíntotas úteis):
  • Quando t\to 0^{+} tem-se x=\ln t\to -\infty e y=t^{1/3}\to 0^{+}. Portanto, à esquerda a curva se aproxima do eixo x pela parte superior; isto dá uma assíntota horizontal y=0 quando x\to -\infty.
  • Quando t\to +\infty tem-se x\to +\infty e y\to +\infty. Não há assíntote vertical; a curva cresce exponencialmente para a direita.
Comportamento da inclinação:
  • Quando x\to -\infty (à esquerda), \frac{dy}{dx}\to 0^{+}: a curva fica quase horizontal.
  • Quando x\to +\infty, \frac{dy}{dx}\to +\infty: a curva fica cada vez mais íngreme.

Passo 7

Pontos de referência numéricos para facilitar o desenho (escolha de alguns t simples e coordenadas correspondentes):
  • t=1: (x,y)=(\ln 1,\;1)=(0,\;1).
  • t=8: (x,y)=(\ln 8,\;2) com \ln 8\approx 2{,}079. Então um ponto é aproximadamente (2{,}079,\;2).
  • t=\tfrac{1}{8}: (x,y)=(\ln\tfrac{1}{8},\;\tfrac{1}{2})=( -\ln 8,\; \tfrac{1}{2}) com -\ln 8\approx -2{,}079.
  • t=e^{3}: (x,y)=(3,\;e) pois \sqrt[3]{e^{3}}=e. Assim o ponto (3,\;e) está na curva (útil para ver taxa de crescimento).
Use esses pontos como esqueleto: à esquerda a curva fica próxima de y=0, passa por (0,1), e à direita sobe rapidamente, mantendo a curvatura para cima.

Passo 8

Orientação prática para desenhar (passo a passo no papel):
  1. Trace os eixos x e y. Marque o eixo y>0 (a curva nunca atinge y\le0).
  2. Marque o ponto (0,1).
  3. Marque (\ln 8,\;2) e (-\ln 8,\;1/2) para ter noção da rapidez de crescimento.
  4. Desenhe uma curva suave, crescente e convexa que:
    • Para x\ll 0 está muito próxima de y=0 (quase horizontal).
    • Passa por (0,1).
    • Para x\gg 0 sobe rapidamente (tendendo para +\infty).
  5. Verifique a inclinação local usando \frac{dy}{dx}=\tfrac{1}{3}y: na direita a inclinação é grande; na esquerda, pequena.
Dica de visualização: é o mesmo formato de uma exponencial clássica, só que menos íngreme porque o expoente é x/3 (mais “esticada” horizontalmente que y=e^{x}).

Resposta

A imagem é o gráfico da função y=e^{x/3} para x\in\mathbb{R} (curva crescente, com y>0, assíntota horizontal y=0 quando x\to-\infty, passando por (0,1) e convexa para cima).

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