Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a imagem da curva plana dada por
. Informações que temos diretamente do enunciado:
- A variável parâmetro é
e varia em (todos os reais). - A coordenada
é . Logo para todo . - A coordenada
é . Logo para todo . - O pedido concreto é: descrever e desenhar (esboçar) a imagem
.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para ver a curva como gráfico de uma função em
. Como
e a função exponencial é bijetiva de
em
, podemos resolver para
:
Substituindo em
obtemos a equação cartesiana da imagem:
Interpretação simples: a imagem de
é exatamente o gráfico da função
definida em
.
Passo 3
Caracterizar pontos importantes e tangente no vértice. Primeiro localizamos o mínimo de
. Como
, o menor valor ocorre em
, que dá
Esse é o ponto mais baixo da curva (vértice). Para saber a direção (tangente) calculemos o vetor derivada
A inclinação da curva em termos de
é
Em
isso dá
, portanto a tangente em
é horizontal — ótimo para desenhar. Em termos de
essa inclinação é
porque
.
Passo 4
Comportamento nas extremidades e direção do percurso (setas). Analisando os limites:
- Quando
: e . A curva vai para a região de grande e grande. - Quando
: e . A curva aproxima-se do eixo pela direita (isto é, tende a ) e ao mesmo tempo .
Portanto, conformeaumenta, o percurso começa “lá em cima à esquerda” (próximo de , grande), desce até o vértice em , e depois sobe para a direita com e crescendo. Ao desenhar, coloque setas indicando essa orientação: de → → .
Passo 5
Alguns pontos numéricos para posicionar no esboço (úteis para desenhar sem calculadora):
-
. -
. -
. -
. -
.
Esses pontos mostram que para o mesmo valor dehá duas abscissas recíprocas (por exemplo ocorre em e ), o que ajuda a esboçar a “parede” que sobe dos dois lados do vértice.
Passo 6
Curvatura/concavidade (opcional, para aprimorar o esboço). Calcule a segunda derivada em termos de
:
Isto zera em
, ou seja em
. Para
tem-se
(curvatura para cima, convexa) e para
tem-se curva para baixo (concavidade invertida). No desenho, por volta de
a curva muda ligeiramente de curvatura — detalhe sutil, mas visível se desenhar com cuidado.
Passo 7
Como desenhar de fato (passo-a-passo prático):
- Faça eixos
(horizontal) e (vertical). Marque claramente e o ponto . - Coloque os pontos aproximados listados no Passo 5 (use
, , ). - Desenhe uma curva suave que vem de cima à esquerda (quando
muito pequeno, grande), desce até com tangente horizontal, e sobe para cima à direita (quando grande, grande). Faça as duas “alas” simétricas em altura (mesmo para e ), mas não linearmente espelhadas em relação a ; sim, para cada há duas abscissas recíprocas. - Acrescente setas na curva no sentido: da asa esquerda para o vértice para a asa direita (isso indica
aumentando).
Resposta
A imagem é o gráfico da função
com
. O ponto mínimo é
; a curva tende a
quando
e quando
. A orientação é:
(próximo a
)
em
(para
).