Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\sigma(t)=\left(e^{t}, t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da curva plana dada por \sigma(t)=\left(e^{t}, t^{2}\right). Informações que temos diretamente do enunciado:
  • A variável parâmetro é t e varia em \mathbb{R} (todos os reais).
  • A coordenada x é x=e^{t}. Logo x>0 para todo t.
  • A coordenada y é y=t^{2}. Logo y\ge 0 para todo t.
  • O pedido concreto é: descrever e desenhar (esboçar) a imagem \operatorname{Im}(\sigma)=\{\sigma(t):t\in\mathbb{R}\}.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para ver a curva como gráfico de uma função em x. Como x=e^{t} e a função exponencial é bijetiva de \mathbb{R} em (0,\infty), podemos resolver para t:
t=\ln x,\qquad\text{válido para }x>0.á
Substituindo em y=t^{2} obtemos a equação cartesiana da imagem:
y=(\ln x)^{2},\qquad x>0.
Interpretação simples: a imagem de \sigma é exatamente o gráfico da função x\mapsto(\ln x)^{2} definida em (0,\infty).

Passo 3

Caracterizar pontos importantes e tangente no vértice. Primeiro localizamos o mínimo de y. Como y=t^{2}\ge 0, o menor valor ocorre em t=0, que dá
\sigma(0)=(e^{0},0)=(1,0).
Esse é o ponto mais baixo da curva (vértice). Para saber a direção (tangente) calculemos o vetor derivada
\sigma'(t)=\bigl(e^{t},\,2t\bigr).
A inclinação da curva em termos de t é
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}{e^{t}}.
Em t=0 isso dá \frac{dy}{dx}=0, portanto a tangente em (1,0) é horizontal — ótimo para desenhar. Em termos de x essa inclinação é
\frac{dy}{dx}=\frac{2\ln x}{x},
porque t=\ln x.

Passo 4

Comportamento nas extremidades e direção do percurso (setas). Analisando os limites:
  • Quando t\to+\infty: x=e^{t}\to+\infty e y=t^{2}\to+\infty. A curva vai para a região de x grande e y grande.
  • Quando t\to-\infty: x=e^{t}\to 0^{+} e y=t^{2}\to+\infty. A curva aproxima-se do eixo y pela direita (isto é, x tende a 0^{+}) e ao mesmo tempo y\to+\infty.
    Portanto, conforme t aumenta, o percurso começa “lá em cima à esquerda” (próximo de x=0^+, y grande), desce até o vértice (1,0) em t=0, e depois sobe para a direita com x e y crescendo. Ao desenhar, coloque setas indicando essa orientação: de (0^+,\infty) (1,0) (\infty,\infty).

Passo 5

Alguns pontos numéricos para posicionar no esboço (úteis para desenhar sem calculadora):
  • t=-2:\\ \sigma(-2)=\bigl(e^{-2},4\bigr)\approx(0{,}1353,4).
  • t=-1:\\ \sigma(-1)=\bigl(e^{-1},1\bigr)\approx(0{,}3679,1).
  • t=0:\\ \sigma(0)=(1,0).
  • t=1:\\ \sigma(1)=(e,1)\approx(2{,}718,1).
  • t=2:\\ \sigma(2)=\bigl(e^{2},4\bigr)\approx(7{,}389,4).
    Esses pontos mostram que para o mesmo valor de y>0 há duas abscissas recíprocas x (por exemplo y=1 ocorre em x=e e x=e^{-1}), o que ajuda a esboçar a “parede” que sobe dos dois lados do vértice.

Passo 6

Curvatura/concavidade (opcional, para aprimorar o esboço). Calcule a segunda derivada em termos de x:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{2(1-\ln x)}{x^{2}}.
Isto zera em \ln x=1, ou seja em x=e. Para 0<x<e tem-se \frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0 (curvatura para cima, convexa) e para x>e tem-se curva para baixo (concavidade invertida). No desenho, por volta de x=e a curva muda ligeiramente de curvatura — detalhe sutil, mas visível se desenhar com cuidado.

Passo 7

Como desenhar de fato (passo-a-passo prático):
  1. Faça eixos x (horizontal) e y (vertical). Marque x=1 claramente e o ponto (1,0).
  2. Coloque os pontos aproximados listados no Passo 5 (use e\approx2{,}718, e^{-1}\approx0{,}368, e^{-2}\approx0{,}135).
  3. Desenhe uma curva suave que vem de cima à esquerda (quando x muito pequeno, y grande), desce até (1,0) com tangente horizontal, e sobe para cima à direita (quando x grande, y grande). Faça as duas “alas” simétricas em altura (mesmo y para x=e^{t} e x=e^{-t}), mas não linearmente espelhadas em relação a x=1; sim, para cada y>0 há duas abscissas recíprocas.
  4. Acrescente setas na curva no sentido: da asa esquerda para o vértice para a asa direita (isso indica t aumentando).

Resposta

A imagem é o gráfico da função y=(\ln x)^{2} com x>0. O ponto mínimo é (1,0); a curva tende a y\to+\infty quando x\to0^{+} e quando x\to+\infty. A orientação é: t\to-\infty (próximo a (0^{+},\infty)) \to (1,0) em t=0 \to t\to+\infty (para (\infty,\infty)).

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