Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada e pede para desenhar a imagem (o traçado) dessa curva no plano. Informações fornecidas:
- A parametrização é
. - O parâmetro varia em
. - A tarefa: descrever e desenhar (ou saber como desenhar) a imagem da curva — isto é, o conjunto de pontos
atingidos por quando percorre .
Passo 2
Vamos escrever as componentes explicitamente para que fique claro o que temos:
Não vamos desenhar ainda; primeiro transformamos essa parametrização numa equação cartesiana (eliminar
) para identificar a curva.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro note as transformações naturais:
Agora use a identidade trigonométrica básica
. Substituindo as expressões acima:
Escrevendo de forma habitual:
Passo 4
Interpretação geométrica dessa equação:
- É uma elipse centrada no ponto
. - O semi-eixo horizontal (no sentido
) tem comprimento . - O semi-eixo vertical (no sentido
) tem comprimento .
Logo a elipse está alinhada com os eixos coordenados (não está rotacionada).
Passo 5
Localize os pontos-chave (vértices) que ajudam a desenhar:
- Vértices horizontais:
isto é e . - Vértices verticais:
isto é e .
Esses quatro pontos determinam a forma e o tamanho da elipse.
Passo 6
Determine o sentido de percurso (orientação) quando
aumenta de
a
. Avaliando alguns
importantes:
A sequência de pontos quando
cresce é
, ou seja, a curva é percorrida no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico).
Também podemos checar a direção inicial tomando a derivada:
o que confirma que ao sair de
a curva sobe, isto é, o movimento inicial é para cima — coerente com a orientação anti-horária.
Passo 7
Observações úteis para desenhar à mão (passo a passo prático):
- Marque o centro em
. - Trace o retângulo auxiliar centrado nesse ponto com semi-largura
na horizontal e semi-altura na vertical; os lados desse retângulo tocam a elipse nos vértices listados. - Marque os vértices
. - Desenhe uma curva oval suave passando por esses quatro pontos, simétrica em relação às linhas
e . - Coloque uma seta indicando o sentido anti-horário (por exemplo, entre
e ).
Resposta
A imagem é a elipse
, centrada em
, com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical), vértices em
, percorrida uma vez no sentido anti-horário quando
varia de
a
.