Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\quad \sigma(t)=(1+\cos t, 2 \operatorname{sen} t-1), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada e pede para desenhar a imagem (o traçado) dessa curva no plano. Informações fornecidas:
  • A parametrização é \sigma(t) = (1+\cos t,\;2\operatorname{sen} t -1).
  • O parâmetro varia em 0 \le t \le 2\pi.
  • A tarefa: descrever e desenhar (ou saber como desenhar) a imagem da curva — isto é, o conjunto de pontos (x,y) atingidos por \sigma(t) quando t percorre [0,2\pi].

Passo 2

Vamos escrever as componentes explicitamente para que fique claro o que temos:
x(t)=1+\cos t,\qquad y(t)=-1+2\operatorname{sen} t.
Não vamos desenhar ainda; primeiro transformamos essa parametrização numa equação cartesiana (eliminar t) para identificar a curva.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro note as transformações naturais:
x-1=\cos t,\qquad y+1=2\operatorname{sen} t.
Agora use a identidade trigonométrica básica \cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1. Substituindo as expressões acima:
(x-1)^2 + \left(\frac{y+1}{2}\right)^2 = \cos^{2}t + \operatorname{sen}^{2}t = 1.
Escrevendo de forma habitual:
\frac{(x-1)^2}{1^2} + \frac{(y+1)^2}{2^2} = 1.

Passo 4

Interpretação geométrica dessa equação:
  • É uma elipse centrada no ponto (1,-1).
  • O semi-eixo horizontal (no sentido x) tem comprimento a=1.
  • O semi-eixo vertical (no sentido y) tem comprimento b=2.
    Logo a elipse está alinhada com os eixos coordenados (não está rotacionada).

Passo 5

Localize os pontos-chave (vértices) que ajudam a desenhar:
  • Vértices horizontais: (1\pm1,-1) isto é (2,-1) e (0,-1).
  • Vértices verticais: (1,-1\pm2) isto é (1,1) e (1,-3).
    Esses quatro pontos determinam a forma e o tamanho da elipse.

Passo 6

Determine o sentido de percurso (orientação) quando t aumenta de 0 a 2\pi. Avaliando alguns t importantes:
\sigma(0)=(1+\cos0,\; -1+2\sen0)=(2,-1),
\sigma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(1,1),
\sigma(\pi)=(0,-1),
\sigma\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=(1,-3),
\sigma(2\pi)=(2,-1).
A sequência de pontos quando t cresce é (2,-1)\to(1,1)\to(0,-1)\to(1,-3)\to(2,-1), ou seja, a curva é percorrida no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico).
Também podemos checar a direção inicial tomando a derivada:
\sigma'(t)=(-\operatorname{sen} t,\;2\cos t),\qquad \sigma'(0)=(0,2),
o que confirma que ao sair de (2,-1) a curva sobe, isto é, o movimento inicial é para cima — coerente com a orientação anti-horária.

Passo 7

Observações úteis para desenhar à mão (passo a passo prático):
  1. Marque o centro em (1,-1).
  2. Trace o retângulo auxiliar centrado nesse ponto com semi-largura 1 na horizontal e semi-altura 2 na vertical; os lados desse retângulo tocam a elipse nos vértices listados.
  3. Marque os vértices (2,-1),(0,-1),(1,1),(1,-3).
  4. Desenhe uma curva oval suave passando por esses quatro pontos, simétrica em relação às linhas x=1 e y=-1.
  5. Coloque uma seta indicando o sentido anti-horário (por exemplo, entre (2,-1) e (1,1)).

Resposta

A imagem é a elipse \dfrac{(x-1)^2}{1^2}+\dfrac{(y+1)^2}{2^2}=1, centrada em (1,-1), com semi-eixos a=1 (horizontal) e b=2 (vertical), vértices em (2,-1),(0,-1),(1,1),(1,-3), percorrida uma vez no sentido anti-horário quando t varia de 0 a 2\pi.

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