Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\quad \sigma(t)=\left(1-t^{2}, 2 t^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\sigma(t)=\bigl(1-t^{2},\,2t^{3}+1\bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede que se desenhe a imagem dessa curva (isto é, o conjunto de pontos \sigma(t) no plano).
Informações dadas:
  • A coordenada x é x(t)=1-t^{2}.
  • A coordenada y é y(t)=2t^{3}+1.
  • O parâmetro t varia por todos os reais.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana da curva (útil para reconhecer o tipo de curva). Parto de
x=1-t^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}=1-x.
Também tenho
y-1=2t^{3}=2t\cdot t^{2}=2t(1-x).
Agora isolo t implicitamente ao quadrar a última igualdade: ( t pode ser positivo ou negativo, por isso o quadrado é natural)
(y-1)^{2}=4t^{2}(1-x)^{2}=4(1-x)\,(1-x)^{2}=4(1-x)^{3}.
Portanto a equação implícita da curva é
(y-1)^{2}=4(1-x)^{3},
com a condição implícita 1-x\ge 0, isto é, x\le 1.

Passo 3

Identificar o tipo de curva: faça a troca de variáveis
X=1-x,\qquad Y=y-1.
A equação fica
Y^{2}=4X^{3},\qquad X\ge 0.
Esta é a forma (uma versão escalada) da semicúbica parabola clássica Y^{2}=X^{3}. A parametrização padrão da semicúbica parabola é (X,Y)=(t^{2},t^{3}); aqui a nossa parametrização corresponde a (X,Y)=(t^{2},2t^{3}), portanto é exatamente uma semicúbica parabola escalada no eixo Y por fator 2 e deslocada para o ponto (x,y)=(1,1).

Passo 4

Estudo local (derivadas, tangente, singularidades):
Calculo a derivada vetorial
\sigma'(t)=(-2t,\,6t^{2}).
Para t\neq 0 a inclinação da curva é
\frac{dy}{dx}=\frac{6t^{2}}{-2t}=-3t.
Para t=0 temos \sigma'(0)=(0,0), ou seja, as derivadas primeiras se anulam no ponto (1,1). Contudo o limite de \frac{dy}{dx} quando t\to 0 é 0, então a tangente em (1,1) existe e é horizontal. Esse ponto (1,1) é uma cúspide do tipo semicúbico: as duas “braças” da curva (correspondentes a t\ge 0 e t\le 0) se encontram em (1,1) com tangente horizontal.

Passo 5

Comportamento global e simetria:
  • Domínio em x: como t^{2}=1-x, temos x\le 1. A curva está toda à esquerda da reta vertical x=1.
  • Para t>0 temos y>1; para t<0 temos y<1. Assim existem duas ramificações verticais que se encontram em (1,1).
  • Limites infinitos:
    • Quando t\to+\infty, x\to -\infty e y\to +\infty.
    • Quando t\to-\infty, x\to -\infty e y\to -\infty.
      Logo as duas ramificações vão para |y|\to\infty à medida que x\to -\infty, uma sobe para +\infty (ramo t>0) e outra desce para -\infty (ramo t<0).

Passo 6

Pontos notáveis (valores de amostra para ajudar no esboço). Calculei \sigma(t) para alguns t:
\begin{aligned} \sigma(-2)&=(1-4,\;2(-8)+1)=(-3,\,-15),\\\ \sigma(-1)&=(0,\,-1),\\\ \sigma\bigl(-\tfrac12\bigr)&=\Bigl(1-\tfrac14,\;2\bigl(-\tfrac18\bigr)+1\Bigr)=\Bigl(\tfrac34,\;\tfrac34\Bigr),\\\ \sigma(0)&=(1,1),\\\ \sigma\bigl(\tfrac12\bigr)&=\Bigl(\tfrac34,\;\tfrac54\Bigr),\\\ \sigma(1)&=(0,3),\\\ \sigma(2)&=(-3,17). \end{aligned}
Com esses pontos dá para traçar um esboço: as duas ramificações se aproximam de (1,1) (uma vindo de baixo, outra de cima), cada uma com tangente horizontal naquele ponto, e estendem-se para a esquerda subindo e descendo conforme mostrado pelos pontos.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar (modo “faça você mesmo” na prova):
  1. Desenhe o ponto (1,1) e marque a reta vertical x=1 como limite direito da curva.
  2. A partir de (1,1) desenhe duas ramificações com tangente horizontal naquele ponto: uma imediatamente acima de (1,1) para t>0 e outra imediatamente abaixo para t<0.
  3. Marque os pontos de amostra \bigl(\tfrac34,\tfrac34\bigr), (0,-1), (-3,-15) na ramificação inferior; e \bigl(\tfrac34,\tfrac54\bigr), (0,3), (-3,17) na ramificação superior.
  4. Una suavemente os pontos, lembrando que conforme x\to -\infty as ordenadas |y| crescem muito (ramo superior vai para +\infty, ramo inferior vai para -\infty).
  5. Se quiser transformar mentalmente: desenhe Y^{2}=4X^{3} no primeiro quadrante X\ge 0 (cúspide em X=0), e depois faça a mudança de variáveis X=1-x,\;Y=y-1 (isto corresponde a refletir no eixo x em torno de x=1 e transladar para (1,1)).

Resposta

A imagem é a semicúbica parábola dada implicitamente por (y-1)^{2}=4(1-x)^{3} com x\le 1. O ponto (1,1) é uma cúspide (tangente horizontal) e a curva tem duas ramificações: para t>0 a ramificação está acima de y=1 e vai para (-\infty,+\infty), e para t<0 a ramificação está abaixo de y=1 e vai para (-\infty,-\infty).

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