Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede que se desenhe a imagem dessa curva (isto é, o conjunto de pontos
no plano).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A coordenada
é . - A coordenada
é . - O parâmetro
varia por todos os reais.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana da curva (útil para reconhecer o tipo de curva). Parto de
Também tenho
Agora isolo
implicitamente ao quadrar a última igualdade: (
pode ser positivo ou negativo, por isso o quadrado é natural)
Portanto a equação implícita da curva é
com a condição implícita
, isto é,
.
Passo 3
Identificar o tipo de curva: faça a troca de variáveis
A equação fica
Esta é a forma (uma versão escalada) da semicúbica parabola clássica
. A parametrização padrão da semicúbica parabola é
; aqui a nossa parametrização corresponde a
, portanto é exatamente uma semicúbica parabola escalada no eixo
por fator
e deslocada para o ponto
.
Passo 4
Estudo local (derivadas, tangente, singularidades):
Calculo a derivada vetorial
Calculo a derivada vetorial
Para
a inclinação da curva é
Para
temos
, ou seja, as derivadas primeiras se anulam no ponto
. Contudo o limite de
quando
é
, então a tangente em
existe e é horizontal. Esse ponto
é uma cúspide do tipo semicúbico: as duas “braças” da curva (correspondentes a
e
) se encontram em
com tangente horizontal.
Passo 5
Comportamento global e simetria:
- Domínio em
: como , temos . A curva está toda à esquerda da reta vertical . - Para
temos ; para temos . Assim existem duas ramificações verticais que se encontram em . - Limites infinitos:
- Quando
, e . - Quando
, e .
Logo as duas ramificações vão paraà medida que , uma sobe para (ramo ) e outra desce para (ramo ).
- Quando
Passo 6
Pontos notáveis (valores de amostra para ajudar no esboço). Calculei
para alguns
:
Com esses pontos dá para traçar um esboço: as duas ramificações se aproximam de
(uma vindo de baixo, outra de cima), cada uma com tangente horizontal naquele ponto, e estendem-se para a esquerda subindo e descendo conforme mostrado pelos pontos.
Passo 7
Instruções práticas para desenhar (modo “faça você mesmo” na prova):
- Desenhe o ponto
e marque a reta vertical como limite direito da curva. - A partir de
desenhe duas ramificações com tangente horizontal naquele ponto: uma imediatamente acima de para e outra imediatamente abaixo para . - Marque os pontos de amostra
, , na ramificação inferior; e , , na ramificação superior. - Una suavemente os pontos, lembrando que conforme
as ordenadas crescem muito (ramo superior vai para , ramo inferior vai para ). - Se quiser transformar mentalmente: desenhe
no primeiro quadrante (cúspide em ), e depois faça a mudança de variáveis (isto corresponde a refletir no eixo em torno de e transladar para ).
Resposta
A imagem é a semicúbica parábola dada implicitamente por
com
. O ponto
é uma cúspide (tangente horizontal) e a curva tem duas ramificações: para
a ramificação está acima de
e vai para
, e para
a ramificação está abaixo de
e vai para
.