Desenhe a rede recíproca de uma estrutura hexagonal.
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe a rede recíproca de uma estrutura hexagonal.\n
Informações e escolhas que usarei (não pulo nada, explico tudo depois):\n
Informações e escolhas que usarei (não pulo nada, explico tudo depois):\n
- Vou considerar a rede hexagonal bidimensional (o chamado reticulado triangular, que é a base da rede hexagonal) com constante de rede
.\n - Para definir matematicamente a rede real escolho dois vetores primitivos no plano:
e . Não foi dado qual sistema de vetores usar, então escolho os convencionais abaixo (muito usados em provas), que formam um hexágono regular quando repetidos:\n
- Como a fórmula geral do retículo recíproco é normalmente apresentada em 3D, adiciono um vetor
(com arbitrário) apenas para usar a fórmula padrão; ao final só me interessam as componentes no plano .\n - Objetivo final: obter os vetores primitivos do retículo recíproco
e e explicar como desenhar a rede recíproca (pontos, orientação, zona de Brillouin hexagonal).
Passo 2
O que é retículo recíproco e a fórmula que vamos usar.\n
- Definição operacional: os vetores recíprocos
são definidos de modo que , onde é a delta de Kronecker (vale se e se ). Isso garante ortogonalidade “no sentido de fases” e é a condição que define a rede recíproca.\n - Fórmula vetorial em 3D (muito usada):\n
- Aqui
é o volume da célula primitiva (paralelepípedo). No caso 2D usamos só para computar este volume; no final tomamos as componentes de .
Passo 3
Calcular o determinante / volume
.\n
- Primeiro calcule
. Use as coordenadas escolhidas:\n
- Regra do produto vetorial entre
e :\n
- Aplicando isso:\n
- Agora o volume (produto misto):\n
Passo 4
Calcular
usando a fórmula vetorial e simplificar passo a passo.\n
- Fórmula:\n
- Substituindo
e :\n
- Cancelando
e :\n
- Ou escrevendo só as componentes no plano
:\n
Passo 5
Calcular
de forma parecida (passo a passo mais simples via produto escalar também funcionaria).\n
- Fórmula vetorial:\n
- Primeiro
(use produto vetorial direto).\n - Substituindo em
:\n
- Ou no plano:\n
Passo 6
Verificação rápida (confirme que
).\n
- Calcule
.\n - Calcule
.\n - Calcule
. Passo a passo:\n
- Calcule
. OK — condição satisfeita.
Passo 7
Características geométricas da rede recíproca que vamos desenhar (o que esperar no desenho).\n
- Magnitude dos vetores recíprocos:\n
(Cálculo:
.)\n
- Ângulo entre
e :\n
- Conclusão: os vetores primitivos do retículo recíproco têm igual módulo e ângulo
entre si — portanto os pontos da rede recíproca formam também um reticulado triangular (equivalente a uma rede hexagonal de pontos) — isto é, a rede recíproca de um reticulado hexagonal é ela própria hexagonal (triangular) com escala .
Passo 8
Como desenhar passo a passo (instrução prática para você reproduzir no caderno, sem régua complicada):\n
- Escolha uma escala: por exemplo, faça
cm no papel representar (ou qualquer escala conveniente).\n - No papel marque a origem
.\n - Desenhe o vetor
a partir de com direção e comprimento proporcional a (use a régua e um cálculo simples para a componente ).\n - Desenhe
a partir de com direção vertical (no nosso sistema tem componente ) e comprimento .\n - Agora marque os pontos da rede recíproca: todos os pontos
com inteiros. Faça primeiro as combinações com para ver o hexágono central aparecer.\n - Conecte mentalmente (ou trace leve) as vizinhanças para ver que cada ponto tem seis vizinhos à mesma distância formando um padrão hexagonal (triangular), isto é a rede recíproca.\n
- (Opcional) Para desenhar a primeira zona de Brillouin: tome os seis vetores de menor módulo (por exemplo
, , ) e construa as mediatrizes (bissetrizes perpendiculares) entre a origem e esses pontos; a interseção dessas bissetrizes forma um hexágono regular em torno da origem — a primeira zona de Brillouin.
Passo 9
Observações práticas, truques e verificação visual (dicas de prova):\n
- Truque rápido para prova: se a rede real é hexagonal/triangular com parâmetro
, então um bom palpite para a escala do recíproco é ordenar de grandeza . A forma será novamente hexagonal.\n - Se você desenhar e o padrão não tiver 6 vizinhos simétricos em torno de cada ponto, algo foi errado na escala ou orientação de
.\n - Para uma rede hexagonal 2D pura você pode esquecer
no final — ele só serviu para usar a fórmula 3D. O essencial são e no plano.
Resposta
A rede recíproca é também hexagonal (reticulado triangular). Vetores primitivos no plano:\n