Desenhe a rede recíproca de uma estrutura hexagonal.

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe a rede recíproca de uma estrutura hexagonal.\n
Informações e escolhas que usarei (não pulo nada, explico tudo depois):\n
  • Vou considerar a rede hexagonal bidimensional (o chamado reticulado triangular, que é a base da rede hexagonal) com constante de rede \,a.\n
  • Para definir matematicamente a rede real escolho dois vetores primitivos no plano: \,\mathbf{a}_1 e \,\mathbf{a}_2. Não foi dado qual sistema de vetores usar, então escolho os convencionais abaixo (muito usados em provas), que formam um hexágono regular quando repetidos:\n
\mathbf{a}_1 = a(1,0,0)\n
\mathbf{a}_2 = a\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\right)\n
  • Como a fórmula geral do retículo recíproco é normalmente apresentada em 3D, adiciono um vetor \,\mathbf{a}_3 = c(0,0,1) (com c arbitrário) apenas para usar a fórmula padrão; ao final só me interessam as componentes no plano xy.\n
  • Objetivo final: obter os vetores primitivos do retículo recíproco \,\mathbf{b}_1 e \,\mathbf{b}_2 e explicar como desenhar a rede recíproca (pontos, orientação, zona de Brillouin hexagonal).

Passo 2

O que é retículo recíproco e a fórmula que vamos usar.\n
  • Definição operacional: os vetores recíprocos \,\mathbf{b}_i são definidos de modo que \,\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j = 2\pi\delta_{ij}, onde \delta_{ij} é a delta de Kronecker (vale 1 se i=j e 0 se i\neq j). Isso garante ortogonalidade “no sentido de fases” e é a condição que define a rede recíproca.\n
  • Fórmula vetorial em 3D (muito usada):\n
\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\quad \mathbf{b}_2 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\quad \mathbf{b}_3 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}.\n
  • Aqui \mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) é o volume da célula primitiva (paralelepípedo). No caso 2D usamos \mathbf{a}_3 só para computar este volume; no final tomamos as componentes x,y de \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2.

Passo 3

Calcular o determinante / volume \,V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3).\n
  • Primeiro calcule \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3. Use as coordenadas escolhidas:\n
\mathbf{a}_2 = a\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\right),\quad \mathbf{a}_3 = c(0,0,1).\n
  • Regra do produto vetorial entre (x,y,0) e (0,0,1):\n
(x,y,0)\times(0,0,1) = (y,-x,0).\n
  • Aplicando isso:\n
\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = a c\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}, -\tfrac{1}{2},0\right).\n
  • Agora o volume (produto misto):\n
V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) = a(1,0,0)\cdot a c\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}, -\tfrac{1}{2},0\right) = a^2 c\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular \mathbf{b}_1 usando a fórmula vetorial e simplificar passo a passo.\n
  • Fórmula:\n
\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{V}.\n
  • Substituindo \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = a c\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}, -\tfrac{1}{2},0\right) e V=a^2 c\tfrac{\sqrt{3}}{2}:\n
\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{a c\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}, -\tfrac{1}{2},0\right)}{a^2 c\tfrac{\sqrt{3}}{2}}.\n
  • Cancelando a c e \tfrac{\sqrt{3}}{2}:\n
\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{1}{a}\left(1,-\tfrac{1}{\sqrt{3}},0\right).\n
  • Ou escrevendo só as componentes no plano xy:\n
\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a}\left(1,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 5

Calcular \mathbf{b}_2 de forma parecida (passo a passo mais simples via produto escalar também funcionaria).\n
  • Fórmula vetorial:\n
\mathbf{b}_2 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{V}.\n
  • Primeiro \mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1 = c(0,0,1)\times a(1,0,0) = a c(0,1,0) (use produto vetorial direto).\n
  • Substituindo em \mathbf{b}_2:\n
\mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{a c(0,1,0)}{a^2 c\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2\pi\frac{1}{a}\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}},0\right).\n
  • Ou no plano:\n
\mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a}\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right).

Passo 6

Verificação rápida (confirme que \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j = 2\pi\delta_{ij}).\n
  • Calcule \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{b}_1 = a(1,0)\cdot\frac{2\pi}{a}\left(1,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2\pi.\n
  • Calcule \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{b}_2 = a(1,0)\cdot\frac{2\pi}{a}\left(0,\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right) = 0.\n
  • Calcule \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{b}_1 = a\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\frac{2\pi}{a}\left(1,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right). Passo a passo:\n
\text{produto} = 2\pi\left(\tfrac{1}{2}\cdot 1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) =2\pi\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\right)=0.\n
  • Calcule \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{b}_2 = a\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\frac{2\pi}{a}\left(0,\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=2\pi. OK — condição satisfeita.

Passo 7

Características geométricas da rede recíproca que vamos desenhar (o que esperar no desenho).\n
  • Magnitude dos vetores recíprocos:\n
|\mathbf{b}_1| = |\mathbf{b}_2| = \frac{4\pi}{a\sqrt{3}}.\n
(Cálculo: |\mathbf{b}_1| = \frac{2\pi}{a}\sqrt{1+\tfrac{1}{3}} = \frac{2\pi}{a}\sqrt{\tfrac{4}{3}} = \frac{4\pi}{a\sqrt{3}}.)\n
  • Ângulo entre \mathbf{b}_1 e \mathbf{b}_2:\n
\cos\theta = \frac{\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{b}_2}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|} = -\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta = 120^\circ.\n
  • Conclusão: os vetores primitivos do retículo recíproco têm igual módulo e ângulo 120^\circ entre si — portanto os pontos da rede recíproca formam também um reticulado triangular (equivalente a uma rede hexagonal de pontos) — isto é, a rede recíproca de um reticulado hexagonal é ela própria hexagonal (triangular) com escala \propto 1/a.

Passo 8

Como desenhar passo a passo (instrução prática para você reproduzir no caderno, sem régua complicada):\n
  1. Escolha uma escala: por exemplo, faça 1 cm no papel representar \frac{2\pi}{a} (ou qualquer escala conveniente).\n
  2. No papel marque a origem O.\n
  3. Desenhe o vetor \mathbf{b}_1 a partir de O com direção (1,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) e comprimento proporcional a \frac{2\pi}{a}\sqrt{1+\tfrac{1}{3}} (use a régua e um cálculo simples para a componente y).\n
  4. Desenhe \mathbf{b}_2 a partir de O com direção vertical (no nosso sistema \mathbf{b}_2 tem componente x=0) e comprimento \tfrac{4\pi}{a\sqrt{3}}.\n
  5. Agora marque os pontos da rede recíproca: todos os pontos \,n\mathbf{b}_1 + m\mathbf{b}_2 com n,m inteiros. Faça primeiro as combinações com n,m\in\{-1,0,1\} para ver o hexágono central aparecer.\n
  6. Conecte mentalmente (ou trace leve) as vizinhanças para ver que cada ponto tem seis vizinhos à mesma distância formando um padrão hexagonal (triangular), isto é a rede recíproca.\n
  7. (Opcional) Para desenhar a primeira zona de Brillouin: tome os seis vetores de menor módulo (por exemplo \pm\mathbf{b}_1, \pm\mathbf{b}_2, \pm(\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2)) e construa as mediatrizes (bissetrizes perpendiculares) entre a origem e esses pontos; a interseção dessas bissetrizes forma um hexágono regular em torno da origem — a primeira zona de Brillouin.

Passo 9

Observações práticas, truques e verificação visual (dicas de prova):\n
  • Truque rápido para prova: se a rede real é hexagonal/triangular com parâmetro a, então um bom palpite para a escala do recíproco é ordenar de grandeza 2\pi/a. A forma será novamente hexagonal.\n
  • Se você desenhar e o padrão não tiver 6 vizinhos simétricos em torno de cada ponto, algo foi errado na escala ou orientação de \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2.\n
  • Para uma rede hexagonal 2D pura você pode esquecer \mathbf{b}_3 no final — ele só serviu para usar a fórmula 3D. O essencial são \mathbf{b}_1 e \mathbf{b}_2 no plano.

Resposta

A rede recíproca é também hexagonal (reticulado triangular). Vetores primitivos no plano:\n
\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a}\left(1,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\qquad \mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a}\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right).

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