Desenhe um triângulo. Construa uma circunferência circunscrita a este triângulo.

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar um triângulo e construir a circunferência circunscrita a esse triângulo.
Informações dadas (implícitas): um triângulo qualquer com vértices A, B e C. O objetivo final é traçar uma circunferência que passe pelos três vértices A, B e C (ou seja, a circunferência circunscrita ao triângulo).

Passo 2

Desenhe um triângulo aleatório e rotule os vértices.
  • Com régua e lápis, desenhe três pontos não colineares e una-os formando o triângulo.
  • Nomeie-os como A, B e C.
    Agora você tem o triângulo \triangle ABC. (Se preferir, desenhe um triângulo mais “bonito” — nem muito estreito — para facilitar a construção com compasso.)

Passo 3

Plano da construção (explicação rápida antes de fazer):
  • A propriedade que vamos usar é: os pontos do plano equidistantes de A e B estão sobre a mediatriz do segmento AB. A interseção de duas mediatrizes (por exemplo, das de AB e de BC) é o centro da circunferência circunscrita (chamado circuncentro).
  • Então construiremos duas mediatrizes (perpendiculares passando pelo ponto médio) de lados do triângulo; sua interseção será o centro O. Depois traçamos a circunferência de centro O que passa por qualquer vértice (por exemplo, A).

Passo 4

Como construir a mediatriz do lado AB usando régua e compasso (passo a passo detalhado):
  1. Abra o compasso com uma abertura maior que metade do comprimento do segmento AB. Isso significa que a abertura deve ser mais do que a distância entre A e B dividida por 2.
  2. Com o centro no ponto A, trace um arco acima e outro arco abaixo do segmento AB. Esses dois arcos são partes de círculos com raio igual à abertura do compasso.
  3. Sem alterar a abertura do compasso, coloque o centro no ponto B e trace dois arcos que cruzem os arcos desenhados a partir de A. Esses arcos irão intersectar os arcos do passo anterior em dois pontos; chame esses pontos de interseção de P (acima de AB) e Q (abaixo de AB).
  4. Use a régua para traçar a reta que passa por P e Q. Essa reta é a mediatriz de AB: é perpendicular a AB e passa pelo ponto médio de AB. Anote-a como a mediatriz m_{AB}.
Observação didática: o motivo de usar arcos com mesma abertura é que os pontos P e Q estão à mesma distância de A e de B. A reta PQ é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B, logo é a mediatriz.

Passo 5

Repita a construção da mediatriz para outro lado, por exemplo BC:
  1. Abra o compasso com uma abertura maior que metade de BC (pode ser a mesma abertura usada antes, desde que seja maior que metade).
  2. Com centro em B, trace dois arcos (um acima e outro abaixo de BC).
  3. Com centro em C e mesma abertura, trace dois arcos que cruzem os anteriores; marque as interseções como R e S.
  4. Trace a reta passando por R e S. Essa reta é a mediatriz m_{BC}.

Passo 6

Encontre o circuncentro O:
  • Trace as duas mediatrizes m_{AB} e m_{BC} (linhas que você desenhou).
  • Essas duas retas se cruzam em um ponto; chame esse ponto de O. Esse ponto O é o circuncentro do triângulo \triangle ABC.
Explicação didática do porquê: um ponto na mediatriz de AB é equidistante de A e B. Um ponto na mediatriz de BC é equidistante de B e C. Logo, um ponto comum às duas mediatrizes é equidistante de A, B e C. Assim, OA = OB = OC. Esse ponto equidistante é o centro da circunferência que passa por A, B e C.

Passo 7

Trace a circunferência circunscrita:
  • Coloque a ponta seca do compasso no ponto O.
  • Abra o compasso até alcançar o vértice A; a distância medida é OA.
  • Com essa abertura fixa, trace a circunferência de centro O. Essa circunferência passará por A.
  • Como justificamos no passo anterior, OB = OA e OC = OA, então essa mesma circunferência também passa por B e por C. Assim você obteve a circunferência circunscrita ao triângulo.

Passo 8

Observações importantes e casos especiais (pra não te assustar na prova):
  • Se o triângulo for acutângulo (todos ângulos menores que 90^\circ), o circuncentro O fica dentro do triângulo.
  • Se o triângulo for retângulo, o circuncentro fica exatamente no ponto médio da hipotenusa. Isso acontece porque a mediatriz da hipotenusa coincide com a perpendicular do triângulo retângulo.
  • Se o triângulo for obtusângulo (um ângulo maior que 90^\circ), o circuncentro fica fora do triângulo; ainda assim o mesmo método de mediatrizes funciona sem problemas.
  • Sempre basta construir duas mediatrizes; a terceira mediatriz de AC também passará por O (por consistência geométrica).

Passo 9

Resumo prático para a prova (passos curtinhos que você pode memorizar):
  1. Desenhe \triangle ABC.
  2. Construa a mediatriz de AB (arcos de A e B → pontos P,Q → reta PQ).
  3. Construa a mediatriz de BC (arcos de B e C → pontos R,S → reta RS).
  4. Interseção das mediatrizes = O.
  5. Com centro O e raio OA, trace a circunferência. Pronto — circunferência circunscrita obtida.

Resposta

Circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo ABC.

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