Desenhe um triângulo. Construa uma circunferência circunscrita a este triângulo.
Passo 1
O que o enunciado pede: desenhar um triângulo e construir a circunferência circunscrita a esse triângulo.
Informações dadas (implícitas): um triângulo qualquer com vértices ,
e
. O objetivo final é traçar uma circunferência que passe pelos três vértices
,
e
(ou seja, a circunferência circunscrita ao triângulo).
Informações dadas (implícitas): um triângulo qualquer com vértices
Passo 2
Desenhe um triângulo aleatório e rotule os vértices.
- Com régua e lápis, desenhe três pontos não colineares e una-os formando o triângulo.
- Nomeie-os como
, e .
Agora você tem o triângulo. (Se preferir, desenhe um triângulo mais “bonito” — nem muito estreito — para facilitar a construção com compasso.)
Passo 3
Plano da construção (explicação rápida antes de fazer):
- A propriedade que vamos usar é: os pontos do plano equidistantes de
e estão sobre a mediatriz do segmento . A interseção de duas mediatrizes (por exemplo, das de e de ) é o centro da circunferência circunscrita (chamado circuncentro). - Então construiremos duas mediatrizes (perpendiculares passando pelo ponto médio) de lados do triângulo; sua interseção será o centro
. Depois traçamos a circunferência de centro que passa por qualquer vértice (por exemplo, ).
Passo 4
Como construir a mediatriz do lado
usando régua e compasso (passo a passo detalhado):
- Abra o compasso com uma abertura maior que metade do comprimento do segmento
. Isso significa que a abertura deve ser mais do que a distância entre e dividida por . - Com o centro no ponto
, trace um arco acima e outro arco abaixo do segmento . Esses dois arcos são partes de círculos com raio igual à abertura do compasso. - Sem alterar a abertura do compasso, coloque o centro no ponto
e trace dois arcos que cruzem os arcos desenhados a partir de . Esses arcos irão intersectar os arcos do passo anterior em dois pontos; chame esses pontos de interseção de (acima de ) e (abaixo de ). - Use a régua para traçar a reta que passa por
e . Essa reta é a mediatriz de : é perpendicular a e passa pelo ponto médio de . Anote-a como a mediatriz .
Observação didática: o motivo de usar arcos com mesma abertura é que os pontos
e
estão à mesma distância de
e de
. A reta
é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
e
, logo é a mediatriz.
Passo 5
Repita a construção da mediatriz para outro lado, por exemplo
:
- Abra o compasso com uma abertura maior que metade de
(pode ser a mesma abertura usada antes, desde que seja maior que metade). - Com centro em
, trace dois arcos (um acima e outro abaixo de ). - Com centro em
e mesma abertura, trace dois arcos que cruzem os anteriores; marque as interseções como e . - Trace a reta passando por
e . Essa reta é a mediatriz .
Passo 6
Encontre o circuncentro
:
- Trace as duas mediatrizes
e (linhas que você desenhou). - Essas duas retas se cruzam em um ponto; chame esse ponto de
. Esse ponto é o circuncentro do triângulo .
Explicação didática do porquê: um ponto na mediatriz de
é equidistante de
e
. Um ponto na mediatriz de
é equidistante de
e
. Logo, um ponto comum às duas mediatrizes é equidistante de
,
e
. Assim,
. Esse ponto equidistante é o centro da circunferência que passa por
,
e
.
Passo 7
Trace a circunferência circunscrita:
- Coloque a ponta seca do compasso no ponto
. - Abra o compasso até alcançar o vértice
; a distância medida é . - Com essa abertura fixa, trace a circunferência de centro
. Essa circunferência passará por . - Como justificamos no passo anterior,
e , então essa mesma circunferência também passa por e por . Assim você obteve a circunferência circunscrita ao triângulo.
Passo 8
Observações importantes e casos especiais (pra não te assustar na prova):
- Se o triângulo for acutângulo (todos ângulos menores que
), o circuncentro fica dentro do triângulo. - Se o triângulo for retângulo, o circuncentro fica exatamente no ponto médio da hipotenusa. Isso acontece porque a mediatriz da hipotenusa coincide com a perpendicular do triângulo retângulo.
- Se o triângulo for obtusângulo (um ângulo maior que
), o circuncentro fica fora do triângulo; ainda assim o mesmo método de mediatrizes funciona sem problemas. - Sempre basta construir duas mediatrizes; a terceira mediatriz de
também passará por (por consistência geométrica).
Passo 9
Resumo prático para a prova (passos curtinhos que você pode memorizar):
- Desenhe
. - Construa a mediatriz de
(arcos de e → pontos → reta ). - Construa a mediatriz de
(arcos de e → pontos → reta ). - Interseção das mediatrizes =
. - Com centro
e raio , trace a circunferência. Pronto — circunferência circunscrita obtida.
Resposta
Circunferência de centro
e raio
circunscrita ao triângulo
.