Desenhe um segmento a. Construa um quadrado que tenha a como diagonal.
Passo 1
O enunciado dá um segmento a e pede que eu construa um quadrado que tenha a como diagonal. Informações relevantes que eu tenho: o segmento a já está desenhado e tem dois extremos; preciso usar esse segmento como uma das diagonais do quadrado e construir os outros dois vértices de modo a obter um quadrado.
Passo 2
Nomeio os extremos do segmento a como \,A e \,C. Ou seja, o segmento dado é \overline{AC} e eu quero um quadrado cujas coordenadas dos vértices contenham A e C de modo que \overline{AC} seja uma diagonal do quadrado. (Essa nomeação é só para facilitar a construção.)
Passo 3
Vou construir a mediatriz (perpendicular que corta ao meio) do segmento \overline{AC}, que dará o ponto médio M e também a direção perpendicular necessária. Procedimento com régua e compasso: com centro em A traço uma circunferência de raio r tal que r>\tfrac{1}{2}\overline{AC}. Com o mesmo raio r e centro em C traço outra circunferência. Essas duas circunferências se cortam em dois pontos, chamo-os de P e Q. Traço a reta PQ. Essa reta PQ é a mediatriz de \overline{AC} (vou justificar por que nos próximos passos). A interseção da reta PQ com \overline{AC} é o ponto M, que será o ponto médio de \overline{AC}.
Passo 4
Justificativa por que PQ é mediatriz e M é ponto médio: os triângulos formados pelos pares de interseções são congruentes porque têm dois lados iguais (r em cada círculo) e a distância comum entre centros A e C. Assim, P e Q estão à mesma distância de A e de C. Logo a reta PQ é perpendicular a \overline{AC} e corta \overline{AC} no ponto M que satisfaz \overline{AM}=\overline{MC}. Portanto M é o ponto médio de \overline{AC}.
Passo 5
Chamo r_M a distância \overline{MA} (que é igual a \overline{MC}). Com o compasso, traço a circunferência de centro M e raio r_M=\overline{MA}. Esta circunferência passa por A e por C (porque MA=MC=r_M).
Passo 6
Observo que a reta PQ é perpendicular a \overline{AC} e passa por M. A interseção da reta PQ com a circunferência de centro M e raio r_M dá dois pontos distintos; denomino-os B e D. Estes pontos satisfazem \overline{MB}=\overline{MA}=\overline{MC}=\overline{MD}=r_M.
Passo 7
Ligo os vértices na ordem A — B — C — D — A traçando os segmentos \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} e \overline{DA}. Isso forma um quadrilátero ABCD cuja diagonal é \overline{AC} (o segmento dado).
Passo 8
Prova de que ABCD é um quadrado (ou seja, lados iguais e ângulos retos): seja r_M=\overline{MA}.
Em \triangle AMB temos \overline{AM}=r_M e \overline{MB}=r_M, e o ângulo em M é reto porque MB está sobre a mediatriz perpendicular a \overline{AC} enquanto A está sobre \overline{AC}; assim \angle AMB=90^\circ. Portanto \triangle AMB é um triângulo retângulo isósceles com catetos iguais, o que implica que os ângulos agudos valem 45^\circ cada.
Pelo mesmo raciocínio, \triangle BMC é retângulo isósceles (pois MB=MC=r_M e \angle BMC=90^\circ), então seus ângulos em B e C relativos à porção próxima a M também são 45^\circ.
O ângulo \angle ABC é a soma de \angle ABM (que vale 45^\circ) e \angle MBC (que vale 45^\circ), logo \angle ABC=90^\circ. Assim dois lados adjacentes \overline{AB} e \overline{BC} são perpendiculares.
Comprimentos dos lados: pelo Teorema de Pitágoras em \triangle AMB,
Logo \overline{AB}=\overline{BC}. Pelo simetria (os quatro vértices estão sobre a circunferência de centro M e disposições simétricas), temos \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}.
5) Portanto ABCD tem os quatro lados iguais e ângulos retos consecutivos, ou seja, é um quadrado.
Passo 9
Resumo prático da construção (para aplicar depressa na prova):
Dado \overline{AC} (o segmento a), desenhe duas circunferências com centros em A e C e raio maior que \tfrac{1}{2}\overline{AC}; marque interseção P,Q.
Trace a reta PQ (mediatriz); marque M= PQ\cap AC.
Com centro M e raio MA trace a circunferência; marque B e D como interseções desta circunferência com a reta PQ.
Una A-B-C-D-A. O quadrilátero obtido é o quadrado desejado.