Desenhe uma circunferência de centro O e um ponto P exterior à ela. Construa uma reta tangente à esta circunferência passando por P.
Passo 1
Dados: uma circunferência de centro O (raio não especificado) e um ponto P exterior a ela (isto é, \overline{OP}> raio da circunferência). Pedido: construir uma reta tangente à circunferência passando por P (na prática haverá duas tangentes distintas a partir de um ponto exterior; vamos construir ambas).
Passo 2
Ideia chave (sem ainda desenhar): se T é o ponto de tangência, então o raio OT é perpendicular à reta tangente em T. Usaremos o fato clássico de Thales: qualquer ponto T que esteja sobre a circunferência cujo diâmetro é \overline{OP} satisfaz \angle OTP=90^\circ. Logo, se encontrarmos pontos T que pertencem simultaneamente à circunferência dada e à circunferência de diâmetro \overline{OP}, teremos \angle OTP=90^\circ e então PT será tangente à circunferência dada. Assim o passo prático é construir a circunferência de diâmetro \overline{OP} e intersectá‑la com a circunferência original; as interseções são os pontos de tangência.
Passo 3
Com régua, desenhe o segmento \overline{OP} ligando o centro O àquele ponto exterior P. Marque claramente os pontos O e P.
Construa o ponto médio M do segmento \overline{OP} (procedimento com compasso e régua): escolha um compasso com abertura maior que metade de \overline{OP}. Com centro em O trace um arco; com a mesma abertura e centro em P trace outro arco de modo que eles se cortem em dois pontos (chame-os de A e B). Com a régua, trace a reta que passa por A e B; essa é a mediatriz de \overline{OP}. A interseção dessa mediatriz com \overline{OP} é o ponto médio M. (Explicação rápida: interseção de duas circunferências com mesma abertura gera dois pontos simétricos; a reta que liga esses pontos é a mediatriz do segmento entre os centros.)
Passo 4
Com o compasso, coloque o centro em M e a abertura em MP (note que MP=MO porque M é o ponto médio). Trace a circunferência de centro M e raio MP. Essa circunferência tem diâmetro \overline{OP} (pois M é o meio de \overline{OP}).
Passo 5
Localize as interseções entre a circunferência original (centro O) e a circunferência de centro M (diâmetro \overline{OP}). Denote as T_1 e T_2 esses pontos de interseção. (Como P é exterior, haverá duas interseções distintas T_1 e T_2.)
Passo 6
Com a régua, trace as retas \overline{PT_1} e \overline{PT_2}. Essas são as retas que passam por P e pelos pontos T_1 e T_2.
Passo 7
Justificativa (por que \overline{PT_1} e \overline{PT_2} são tangentes): como T_i pertence à circunferência de diâmetro \overline{OP}, pelo teorema de Thales tem‑se \angle OT_iP=90^\circ. Portanto OT_i é perpendicular a PT_i. Mas OT_i é raio da circunferência original; o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. Logo PT_i é tangente à circunferência original em T_i. Repetindo para i=1,2 obtém‑se as duas tangentes.
Passo 8
Observações práticas e degenerações rápidas: se ao traçar a circunferência de diâmetro \overline{OP} você não obtiver interseção com a circunferência original, isso significa que P não é exterior (ou houve erro de construção). Se houver exatamente uma interseção (caso limite), significa que P está sobre a circunferência (tangência única). Mas no caso do enunciado, P foi dado como exterior, então teremos duas tangentes distintas.
Passo 9
Resumo prático para a prova (passos rápidos que você pode executar sem perder tempo): (1) ligar O a P; (2) construir mediatriz de \overline{OP} e marcar M; (3) desenhar circunferência de centro M e raio MP; (4) marcar interseções T_1,T_2 com a circunferência dada; (5) traçar PT_1 e PT_2. Essas são as tangentes pedidas. Vai dar certo — faz com calma e verifica cada interseção antes de traçar as retas finais.
Resposta
As retas tangentes são \overline{PT_1} e \overline{PT_2}, onde T_1 e T_2 são as interseções entre a circunferência dada (centro O) e a circunferência de diâmetro \overline{OP}.