No desenho abaixo está representado o instante em que um satélite de órbita baixa transmite o sinal para uma antena receptora. Considere: sen 57° igual ou aproximado a 0,839, cos 57° igual ou aproximado a 0,545, tg 57° igual ou aproximado a 1,54. Qual é a distância S que esse sinal de satélite deve percorrer para chegar até a antena receptora? A reta S é oposta ao ângulo de 90º (sen), o ângulo que forma a reta S é de 57º (cos), e as retas que formam a tg do triângulo é de 839 km.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um problema de trigonometria envolvendo um satélite que está enviando um sinal para uma antena receptora. A gente precisa calcular a distância $ S $ que esse sinal percorre até chegar na antena. Para isso, vamos usar as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, que são fundamentais para resolver triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o triângulo que estamos lidando. Sabemos que:
  • O ângulo formado pela reta $ S $ é de 57°.
  • A reta $ S $ está oposta ao ângulo de 90°, ou seja, $ S $ é a hipotenusa do triângulo.
  • As retas que formam a tangente do triângulo têm 839 km.
Vamos visualizar isso: temos um triângulo retângulo onde:
  • Um ângulo é de 90°.
  • Um ângulo é de 57°, e o outro, por consequência, é de 33° (já que a soma dos ângulos de um triângulo é 180°).
  • A hipotenusa é $ S $ e queremos descobrir seu valor.

Passo 3

Vamos usar a definição das funções trigonométricas nesse triângulo. Sabemos que:
  • $ \cos(\theta) = \frac{adjacente}{hipotenusa} $
  • $ \tan(\theta) = \frac{oposto}{adjacente} $
Aqui, $ \theta = 57° $, então:
  • $ \cos(57°) = \frac{adjacente}{S} $
  • $ \tan(57°) = \frac{oposto}{adjacente} $

Passo 4

Da tangente, temos:
tan(57°) = opostoadjacente = 1,54
E foi dado que as retas que formam a tangente do triângulo têm 839 km. Isso significa que o lado oposto é 839 km. Então:
1,54 = 839adjacente

Passo 5

Vamos resolver para a reta adjacente:
adjacente = 8391,54 approx 545 km

Passo 6

Agora, usando o cosseno para encontrar $ S $:
S
Substituindo o valor da adjacente:
cos(57°) = adjacenteS = 0,545

Passo 7

Resolvendo para $ S $:
S
Nota: Houve um pequeno erro de cálculo na etapa anterior. Vamos refazer:
S = 5450,545 approx 1000 km

Resposta

A distância $ S $ que o sinal do satélite deve percorrer para chegar até a antena receptora é aproximadamente 1000 km.

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