No desenho abaixo está representado o instante em que um satélite de órbita baixa transmite o sinal para uma antena receptora. Considere: sen 57° igual ou aproximado a 0,839, cos 57° igual ou aproximado a 0,545, tg 57° igual ou aproximado a 1,54. Qual é a distância S que esse sinal de satélite deve percorrer para chegar até a antena receptora? A reta S é oposta ao ângulo de 90º (sen), o ângulo que forma a reta S é de 57º (cos), e as retas que formam a tg do triângulo é de 839 km.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um problema de trigonometria envolvendo um satélite que está enviando um sinal para uma antena receptora. A gente precisa calcular a distância $ S $ que esse sinal percorre até chegar na antena. Para isso, vamos usar as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, que são fundamentais para resolver triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o triângulo que estamos lidando. Sabemos que:
- O ângulo formado pela reta $ S $ é de 57°.
- A reta $ S $ está oposta ao ângulo de 90°, ou seja, $ S $ é a hipotenusa do triângulo.
- As retas que formam a tangente do triângulo têm 839 km.
Vamos visualizar isso: temos um triângulo retângulo onde:
- Um ângulo é de 90°.
- Um ângulo é de 57°, e o outro, por consequência, é de 33° (já que a soma dos ângulos de um triângulo é 180°).
- A hipotenusa é $ S $ e queremos descobrir seu valor.
Passo 3
Vamos usar a definição das funções trigonométricas nesse triângulo. Sabemos que:
- $ \cos(\theta) = \frac{adjacente}{hipotenusa} $
- $ \tan(\theta) = \frac{oposto}{adjacente} $
Aqui, $ \theta = 57° $, então:
- $ \cos(57°) = \frac{adjacente}{S} $
- $ \tan(57°) = \frac{oposto}{adjacente} $
Passo 4
Da tangente, temos:
E foi dado que as retas que formam a tangente do triângulo têm 839 km. Isso significa que o lado oposto é 839 km. Então:
Passo 5
Vamos resolver para a reta adjacente:
Passo 6
Agora, usando o cosseno para encontrar $ S $:
Substituindo o valor da adjacente:
Passo 7
Resolvendo para $ S $:
Nota: Houve um pequeno erro de cálculo na etapa anterior. Vamos refazer:
Resposta
A distância $ S $ que o sinal do satélite deve percorrer para chegar até a antena receptora é aproximadamente 1000 km.