"
Se u = 4 + 3i e v = 5 - 2i, calcule u.v.
"

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois números complexos: $ u = 4 + 3i $ e $ v = 5 - 2i $. Nosso objetivo aqui é calcular o produto desses dois números, ou seja, $ u \cdot v $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Números Complexos e especificamente a multiplicação de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar dois números complexos. Se temos $ (a + bi) $ e $ (c + di) $, o produto entre eles é dado por:
(a + bi)
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, e sabemos que $ i^2 = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos números $ u $ e $ v $:
u
Vamos multiplicar cada termo de $ u $ pelos termos de $ v $:
v

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
  1. $ 4 \cdot 5 = 20 $
  2. $ 4 \cdot (-2i) = -8i $
  3. $ 3i \cdot 5 = 15i $
  4. $ 3i \cdot (-2i) = -6i^2 $
Então, temos:
4 cdot 5 = 20

Passo 5

Agora, lembre-se que $ i^2 = -1 $. Vamos substituir isso na expressão:
i^2 = -1
= 20 - 8i + 15i - 6(-1)

Passo 6

Vamos agora somar os termos semelhantes:
  • Os termos reais: $ 20 + 6 = 26 $
  • Os termos imaginários: $ -8i + 15i = 7i $
Então, o resultado fica:
20 + 6 = 26

Resposta

O produto de $ u $ e $ v $ é $ \boxed{26 + 7i} $.

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