Determine se o sistema é controlável.
dotx=A x+B u=[ccc -1 & 1 & 2 0 & -1 & 5 0 & 3 & -4 ] x+[l 2 1 1 ] u y=C x=[lll 0 & 0 & 1 ] x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente determinar se o sistema
dot x = A,x + B,u, y = C,x
com
A = -1 & 1 & 2[3pt]0 & -1 & 5[3pt]0 & 3 & -4, B = 211, C = 0 & 0 & 1
é controlável.
Conteúdo da matéria: teoria de sistemas lineares, mais precisamente o teste de controlabilidade de Kalman.
O que vamos precisar:
  1. Construir a matriz de controlabilidade .
  2. Verificar se tem posto igual ao número de estados ( ).

Passo 2

Teoria que estamos usando:
Para um sistema C = l[,B,;A B,;A^2 B,;dots,;A^n-1 Br] , ele é controlável se, e somente se, a matriz
tiver posto . Aqui , então precisamos só de , e . Se o determinante de for não nulo (ou o posto for 3), o sistema é controlável.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo:
  1. B = 211 já é dado:
A B = -1 & 1 & 2[3pt]0 & -1 & 5[3pt]0 & 3 & -4 211 = -1cdot 2 + 1cdot 1 + 2cdot 1 0cdot 2 + (-1)cdot1 + 5cdot1 0cdot 2 + 3cdot1 + (-4)cdot1 = 14-1
  1. Calcular A^2 B = -1 & 1 & 2[3pt]0 & -1 & 5[3pt]0 & 3 & -4 14-1 = -1cdot1 + 1cdot4 + 2cdot(-1) 0cdot1 + (-1)cdot4 + 5cdot(-1) 0cdot1 + 3cdot4 + (-4)cdot(-1) = 1-916 :

[
A B


.
]
  1. Calcular :

[
A^2 B


.
]

Passo 4

Agora montamos
[
\mathcal{C}
= \bigl[,B;;A B;;A^2 B,\bigr]

C = l[,B;;A B;;A^2 B,r] = 2 & 1 & 1 1 & 4 & -9 1 & -1 & 16 .
]
Para checar se o posto é 3, podemos calcular o determinante:

[
\det(\mathcal{C})

det(C) = 2 & 1 & 1 1 & 4 & -9 1 & -1 & 16 = 80 (não nulo)
= 80 \quad(não nulo).
]
Como , o posto de é 3.

Resposta

O sistema é controlável, pois a matriz de controlabilidade tem posto completo ( ).

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