Determine se o sistema é controlável.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente determinar se o sistema
com
é controlável.
Conteúdo da matéria: teoria de sistemas lineares, mais precisamente o teste de controlabilidade de Kalman.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: teoria de sistemas lineares, mais precisamente o teste de controlabilidade de Kalman.
O que vamos precisar:
- Construir a matriz de controlabilidade
. - Verificar se
tem posto igual ao número de estados ( ).
Passo 2
Teoria que estamos usando:
Para um sistema C = l[,B,;A B,;A^2 B,;dots,;A^n-1 Br] , ele é controlável se, e somente se, a matriz
Para um sistema
tiver posto
. Aqui
, então precisamos só de
,
e
. Se o determinante de
for não nulo (ou o posto for 3), o sistema é controlável.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo:
-
já é dado:B = 211
- Calcular
:A^2 B = -1 & 1 & 2[3pt]0 & -1 & 5[3pt]0 & 3 & -4 14-1 = -1cdot1 + 1cdot4 + 2cdot(-1) 0cdot1 + (-1)cdot4 + 5cdot(-1) 0cdot1 + 3cdot4 + (-4)cdot(-1) = 1-916
[
A B
]
- Calcular
:
[
A^2 B
]
Passo 4
Agora montamos
[
\mathcal{C}
= \bigl[,B;;A B;;A^2 B,\bigr]
]
Para checar se o posto é 3, podemos calcular o determinante:
[
\det(\mathcal{C})
= 80 \quad(não nulo).
]
Como
, o posto de
é 3.
Resposta
O sistema é controlável, pois a matriz de controlabilidade tem posto completo (
).