Desenvolva as equações para o perfil de concentração e para o fluxo do componente A nos problemas que envolvem reação química heterogênea descritos no livro Hines & Maddox, seção 3.5, para reações lenta (pg 74) e instantânea (pg 76). Liste e descreva todas as etapas algébricas. Esboce um gráfico com o perfil de concentração de A ao longo de r para o intervalo entre R e
, considerando o exemplo de reação instantânea. Considere c
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenvolver as equações que descrevem o perfil de concentração e o fluxo do componente A em reações químicas heterogêneas. Isso está na seção 3.5 do livro de Hines & Maddox, e precisamos considerar tanto reações lentas quanto instantâneas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão e cinética química. Além disso, vamos precisar dos valores fornecidos para calcular e esboçar o gráfico do perfil de concentração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reação química heterogênea: é quando a reação ocorre em uma interface entre duas fases diferentes, como sólido e líquido. No nosso caso, estamos analisando como a concentração do componente A varia ao longo da distância $ r $ da interface.
Passo 3
Vamos começar desenvolvendo a equação para o perfil de concentração de A. Para isso, usamos a equação de difusão estacionária:
Essa equação assume que o sistema está em regime estacionário, ou seja, as concentrações não mudam com o tempo.
Passo 4
Integrando a equação uma vez, temos:
Onde $ C_1 $ é a constante de integração. Para simplificar, consideramos que, à distância $ \delta R $, a concentração de A é zero (reação instantânea).
Passo 5
Aplicando as condições de contorno:
- Em $ r = R $, a concentração de A é $ c $.
- Em $ r = \delta R $, a concentração de A é 0.
Com isso, resolvemos a equação diferencial e encontramos o perfil de concentração:
Passo 6
Agora, vamos calcular o fluxo de A usando a Lei de Fick:
Derivando $ c_A® $:
Portanto, o fluxo fica:
Passo 7
Com as equações desenvolvidas, vamos agora calcular os valores usando os parâmetros fornecidos:
- $ c = 40,3 , \mathrm{mol/m}^3 $
- $ D_{AB} = 1,2 \times 10^{-5} , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $
- $ y_{A\delta} = 0,1 $
- $ n = 2 $
- $ R = 1 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $
- $ \delta R = 2 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $
Passo 8
Para esboçar o gráfico do perfil de concentração de A entre $ R $ e $ \delta R $, substituímos os valores na equação $ c_A® = c \left(1 - \frac{R}{r}\right) $. O gráfico mostrará a concentração diminuindo à medida que nos afastamos de $ R $ até $ \delta R $, onde a concentração é zero.
Resposta
As equações desenvolvidas para o perfil de concentração de A e para o fluxo são:
E o gráfico do perfil de concentração de A ao longo de $ r $ entre $ 1 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $ e $ 2 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $ mostrará uma diminuição linear da concentração desde 40,3 mol/m³ até 0 mol/m³.