a) Desenvolva a expressão para a potência média (intensidade) de uma onda mecânica em um meio elástico.
b) Considere as seguintes equações de onda:
ll (i) & y(x, t)=A cos (k x-omega t) (ii) & y(x, t)=A sin (k x+omega t) (iii) & y(x, t)=A e^k x-omega t
Verifique quais dessas equações satisfazem a equação da onda
partial^2 ypartial x^2=1v^2 partial^2 ypartial t^2

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Na parte a), precisamos desenvolver a expressão para a potência média (ou intensidade) de uma onda mecânica em um meio elástico. Isso envolve conceitos de ondas, energia e propagação em meios elásticos. Na parte b), temos que verificar quais das três equações de onda dadas satisfazem a equação da onda partial^2 ypartial x^2=1v^2 partial^2 ypartial t^2 . Para resolver essas partes, vamos precisar usar fórmulas de ondas, derivadas e entender a relação entre elas.

Passo 2

Parte a): Vamos desenvolver a expressão para a potência média de uma onda mecânica. A potência média $ P $ de uma onda é a energia transportada pela onda por unidade de tempo. Para uma onda em um meio elástico, a energia estática e a energia cinética estão envolvidas.
A intensidade $ I $ da onda, que é a potência por unidade de área, pode ser expressa como:
P
onde $ A $ é a área da seção transversal do meio.
A potência média $ P $ pode ser relacionada à amplitude $ A $ da onda, à densidade $ \rho $ do meio, e à velocidade $ v $ da onda. A expressão geral para a intensidade de uma onda mecânica é:
I
Aqui, $ \omega $ é a frequência angular da onda.

Passo 3

Parte b): Agora, vamos verificar quais das equações de onda dadas satisfazem a equação da onda. A equação da onda é:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
Vamos analisar cada equação uma por uma.
Equação (i): $ y(x, t) = A \cos(kx - \omega t) $
Primeiro, calculamos as derivadas segunda em relação a $ x $ e $ t $:
y(x, t) = A cos(kx - omega t)
x
t
partial ypartial x = -A k sin(kx - omega t)
Agora, substituímos na equação da onda:
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos(kx - omega t)
Simplificando:
partial ypartial t = A omega sin(kx - omega t)
Isso implica que $ \omega = \pm v k $. Portanto, a equação (i) satisfaz a equação da onda se essa relação for verdadeira.
Equação (ii): $ y(x, t) = A \sin(kx + \omega t) $
Vamos fazer o mesmo processo:
partial^2 ypartial t^2 = A omega^2 cos(kx - omega t)
- A k^2 cos(kx - omega t) = 1v^2 A omega^2 cos(kx - omega t)
- k^2 = omega^2v^2
omega = pm v k
Substituindo na equação da onda:
y(x, t) = A sin(kx + omega t)
Simplificando:
partial ypartial x = A k cos(kx + omega t)
partial^2 ypartial x^2 = - A k^2 sin(kx + omega t)
Também obtemos $ \omega = \pm v k $, então a equação (ii) também satisfaz a equação da onda.
Equação (iii): $ y(x, t) = A e^{k x - \omega t} $
Vamos calcular as derivadas:
partial ypartial t = A omega cos(kx + omega t)
partial^2 ypartial t^2 = - A omega^2 sin(kx + omega t)
- A k^2 sin(kx + omega t) = 1v^2 ( - A omega^2 sin(kx + omega t) )
- k^2 = - omega^2v^2
Substituindo na equação da onda:
k^2 = omega^2v^2
Simplificando:
omega = pm v k
Isso também implica $ \omega = \pm v k $, o que sugere que a equação (iii) satisfaz a equação da onda quando essa relação é válida.

Resposta

Todas as equações (i), (ii) e (iii) satisfazem a equação da onda partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2, desde que a relação omega = pm v k seja válida.

Exercícios relacionados