a) Desenvolva expressões para a densidade linear em termos do raio atômico R para as direções [100] e [111] na estrutura CFC.
b) Calcule os valores de densidade linear para essas mesmas duas direções na prata.
c) Desenvolva expressões para a densidade planar em termos do raio atômico R para os planos (100) e (111) na estrutura CFC.
d) Calcule os valores de densidade planar para esses mesmos dois planos no níquel.

Passo 1

Então, o exercício pede duas coisas principais na estrutura CFC (cúbica de faces centradas):
a) Expressões da densidade linear (átomos por unidade de comprimento) nas direções [100] e [111], em função do raio atômico , e depois calcular esses valores para a prata.
b) Expressões da densidade planar (átomos por unidade de área) nos planos e , em função de , e depois calcular para o níquel.
Conteúdo: redes cristalinas CFC, parâmetro de rede versus raio atômico, definição de densidade linear e planar , fração de átomo em localização de rede.
O que a gente vai usar:
  1. Na CFC, o parâmetro de rede é .
  2. Definição de densidade linear:
    úôââ.
  3. Definição de densidade planar:
    úôáá.

Passo 2

Expressão de rhoL[100] ;=;1a ;=;12raiz2,R para [100]:
– A direção [100] vai de um vértice do cubo a outro vértice adjacente ao longo de .
– Nela, só há dois centros de átomo (os dois vértices), mas cada átomo de vértice pertence a 8 células, e cada segmento de comprimento compartilha esses dois vértices com o segmento adjacente. No fundo, dá 1 átomo efetivo por comprimento .
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Passo 3

Expressão de rhoL[111] ;=;1araiz3 ;=;12raiz2,R;raiz3 ;=;12raiz6,R para [111]:
– A direção [111] é a diagonal do cubo, de um vértice a seu oposto, comprimento .
– Só há os dois vértices na linha, e a mesma lógica de contagem dá 1 átomo efetivo por repetição de .

Passo 4

Valores numéricos para prata (Ag).
– Raio atômico típico: .

  1. =

  2. =

Passo 5

Expressão de rhoP(100) =2a^2 =2(2raiz2,R)^2 =28,R^2 =14,R^2 para o plano :
– O plano (100) é quadrado de lado .
– Nele: 4 átomos de vértice, cada um contribui com , total 1 átomo; mais 1 átomo de face-centro (totalmente no plano).
– Soma: 2 átomos por área .

Passo 6

Expressão de rhoP(111) =1A =1tfracraiz32,(a/raiz2)^2 =2raiz3,(a^2/2) =4raiz3,a^2 =4raiz3,(2raiz2,R)^2 =48raiz3,R^2 =12raiz3,R^2 para o plano :
– O plano (111) forma uma malha hexagonal (o mais denso na CFC).
– A distância entre vizinhos no plano é .
– A área do célula primitiva 2D (losango de lados com ângulo ) é .
– Cada célula primitiva 2D carrega 1 átomo.

Passo 7

Valores numéricos para níquel (Ni).
– Raio atômico típico: .

  1. =

  2. =

Resposta

a) , .
b) Para Ag ( ):
,
.
c) , .
d) Para Ni ( ):
,
.

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