Desenvolva as expressões soluções (ou valores) das integrais I de cada caso.
I=\int_{x_{o}}^{x} A x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{x_{0}}^{x} A\,x \,dx
onde A é constante em relação a x. O conteúdo necessário é a aplicação da regra de potência para integrais e o fato de que constantes podem sair do sinal de integral.

Passo 2

Como A é constante, podemos escrevê-la fora da integral:
I = A \int_{x_{0}}^{x} x \,dx.
Para integrar x, usamos a regra de potência:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 3

Definimos a primitiva
F(t) = \frac{t^{2}}{2}.
Logo,
\int_{x_{0}}^{x} x\,dx = F(x) - F(x_{0}) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x_{0}^{2}}{2} = \frac{x^{2} - x_{0}^{2}}{2}.
Multiplicando por A, obtemos
I = A \,\frac{x^{2} - x_{0}^{2}}{2}.

Resposta

I = \frac{A}{2}\,\bigl(x^{2} - x_{0}^{2}\bigr).

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