Desenvolva as expressões soluções (ou valores) das integrais I de cada caso.
I=\int_{3}^{4} A x^{4} y^{2} d x;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida
I = \int_{3}^{4} A\,x^{4}\,y^{2}\,dx
O conteúdo aqui é integração de um polinômio em x, sabendo que A e y são constantes em relação a x.

Passo 2

Como A e y^{2} não dependem de x, podemos fatorá-los para fora da integral:
I = A\,y^{2}\,\int_{3}^{4} x^{4}\,dx

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração de potência:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}
Logo
\int_{3}^{4} x^{4}\,dx = \left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{3}^{4} = \frac{4^{5}-3^{5}}{5}

Passo 4

Calculamos os valores numéricos:
4^{5}=1024,\quad 3^{5}=243,\quad 4^{5}-3^{5}=781
Portanto
I = A\,y^{2}\,\frac{781}{5}

Resposta

I = \frac{781}{5}\,A\,y^{2}

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