Desenvolva as expressões soluções (ou valores) das integrais I de cada caso.
I=\int_{3}^{4} A x^{4} y^{2} d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{3}^{4} A x^{4} y^{2}\,dy
em que A e x são constantes em relação a y. Vamos usar a propriedade de constantes em integrais e a regra da potência para \int y^{n}dy.

Passo 2

Fatoramos as constantes A e x^{4} para fora da integral:
I = A x^{4} \int_{3}^{4} y^{2}\,dy.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência para obter a primitiva de y^{2}:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliamo-la nos limites de 3 a 4:
I = A x^{4}\,\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{3}^{4} = A x^{4}\,\frac{4^{3}-3^{3}}{3} = A x^{4}\,\frac{64-27}{3}.

Passo 5

Simplificando 64-27=37, obtemos
I = \frac{37}{3}\,A\,x^{4}.

Resposta

I = \frac{37}{3}\,A\,x^{4}.

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