Desenvolva f(z)=\frac{1}{3 z-4} como série de potências de z+3

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver f(z)=\dfrac{1}{3z-4} como série de potências em torno de z_0=-3, ou seja, como série em potências de (z+3).
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{3z-4}.
  • O centro pedido para a série é z_0=-3, então a série deve ser em potências de (z+3).
  • Não há mais dados numéricos a extrair do enunciado.

Passo 2

Fazer a mudança de variável para trabalhar com o termo (z+3). Defino
w := z+3,
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z = w-3.
Substituindo em f:
3z-4 = 3(w-3)-4 = 3w-9-4 = 3w-13.
Portanto
f(z)=\frac{1}{3z-4}=\frac{1}{3w-13}.

Passo 3

Escrever a expressão de forma a aplicar a série geométrica. Fatoro -13 no denominador:
3w-13 = -13\left(1-\frac{3}{13}w\right).
Assim
f(z)=\frac{1}{3w-13}=\frac{1}{-13}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{3}{13}w} = -\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{3}{13}w}.

Passo 4

Recordando a série geométrica: para t com |t|<1 vale
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Aqui tomo t=\dfrac{3}{13}w. A condição de validade será
\left|\frac{3}{13}w\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |w|<\frac{13}{3}.
Lembrando que w=z+3, a condição fica |z+3|<\dfrac{13}{3}. Essa é o raio de convergência da série centrada em -3.

Passo 5

Aplicando a série geométrica com t=\dfrac{3}{13}w na expressão de f:
f(z)=-\frac{1}{13}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{13}w\right)^{n}.
Desenvolvendo as potências:
f(z)=-\frac{1}{13}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{13^{n}}\,w^{n}.

Passo 6

Volto a usar w=z+3 e simplifico os fatores para escrever a série final em potências de (z+3):
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{3^{n}}{13^{n+1}}\right)(z+3)^{n}.
Verificação rápida do primeiro termo ( n=0): dá -\dfrac{1}{13}, que coincide com f(-3)=\dfrac{1}{3(-3)-4}=\dfrac{1}{-13}=-\dfrac{1}{13}, ótimo—coerente.

Passo 7

Resumo do que foi feito (passos práticos para usar na prova):
  • Fazer w=z+3 para centrar a série em -3.
  • Reescrever f como múltiplo de \dfrac{1}{1-t} com t=(3/13)w.
  • Aplicar a série geométrica e reescrever em função de (z+3).
  • Anotar o raio de convergência |z+3|<13/3.

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{3^{n}}{13^{n+1}}\right)(z+3)^{n},\qquad |z+3|<\frac{13}{3}.

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