Dada a função u(x, y)=x^{3}-3 x y^{2},
(1.0) b) Obtenha a harmônica conjugada à u
0,5) c) Obtenha a função analítica associada à u.

Passo 1

O enunciado dá a função u(x,y)=x^{3}-3xy^{2} e pede duas coisas:
  • (b) obter a harmônica conjugada de u (isto é, encontrar v(x,y) tal que u+iv seja holomorfa localmente);
  • (c) obter a função analítica associada a u (isto é, uma função f(z) holomorfa cuja parte real seja u).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função real conhecida é u(x,y)=x^{3}-3x y^{2}.
  • Não foi dada restrição de domínio; normalmente assume-se que se trabalha no plano \mathbb{R}^2 (que corresponde ao domínio \mathbb{C}), que é simplesmente conexo, então uma harmônica conjugada global existe (à constante aditiva perto).

Passo 2

Por que procurar uma harmônica conjugada via equações de Cauchy–Riemann?
Se f(z)=u(x,y)+i v(x,y) é holomorfa (analítica), então as derivadas parciais de u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Essas equações permitem determinar v a partir de u (até uma constante), desde que u seja harmônica. Vou primeiro verificar que u é harmônica (isto é, satisfaz a equação de Laplace), porque a existência de conjugada local exige essa propriedade.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras e segundas de u para verificar harmonicidade.
Calcule:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)=3x^{2}-3y^{2},
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)=-6xy.
Agora as segundas derivadas:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-3y^{2})=6x,
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-6xy)=-6x.
Somando para obter o Laplaciano:
u_{xx}+u_{yy}=6x+(-6x)=0.
Como o Laplaciano é zero, u é harmônica. Isso confirma que procurar uma conjugada v por Cauchy–Riemann é consistente.

Passo 4

Usar as equações de Cauchy–Riemann para encontrar v. Relembrando:
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Já temos u_x=3x^{2}-3y^{2} e u_y=-6xy. Começamos com a primeira:
v_y = u_x = 3x^{2}-3y^{2}.
Integramos em relação a y (tratando x como constante) para obter v:
v(x,y)=\int (3x^{2}-3y^{2})\,dy = 3x^{2}y - y^{3} + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).

Passo 5

Determinar \varphi(x) usando a segunda equação de Cauchy–Riemann. Primeiro calcule v_x a partir da expressão obtida:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y - y^{3} + \varphi(x)\bigr)=6xy + \varphi'(x).
A segunda equação de Cauchy–Riemann exige
v_x = -u_y.
Mas u_y=-6xy, então
v_x = -u_y = -(-6xy)=6xy.
Comparando com a expressão anterior:
6xy + \varphi'(x) = 6xy \quad\Longrightarrow\quad \varphi'(x)=0.
Logo \varphi(x) é constante; chamo-a de C.

Passo 6

Concluir a forma da harmônica conjugada v. Substituindo \varphi(x)=C obtemos
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C,
onde C é uma constante real arbitrária. Em geral escolhe-se C=0 para uma conjugada particular.
Comentário intuitivo: v está determinada até uma constante porque somar uma constante imaginária a f não altera a parte real.

Passo 7

Obter a função analítica associada f(z). Uma forma elegante é reconhecer que u e v aparecem como parte real e imaginária de z^{3}. Vamos verificar e escrever f.
Considere z=x+iy. Calcule
z^{3}=(x+iy)^{3}.
Expandindo (ou usando binómio de Newton):
(x+iy)^{3}=x^{3}+3x^{2}(iy)+3x(iy)^{2}+(iy)^{3} = x^{3}+3i x^{2}y-3x y^{2}-i y^{3}.
Agrupando partes real e imaginária:
z^{3}=(x^{3}-3x y^{2}) + i(3x^{2}y - y^{3}).
Observa-se que a parte real é exatamente u(x,y) e a parte imaginária é v(x,y) com C=0. Portanto uma função analítica cuja parte real é u é
f(z)=z^{3}+iC,
onde C é a mesma constante real que apareceu em v. Tomando C=0 obtemos a escolha mais simples f(z)=z^{3}.

Passo 8

Resumo prático e dica para a prova: quando u tem forma polinomial e lembra as potências de x+iy, muitas vezes u é a parte real de z^{n}. A maneira sistemática é:
  • Verificar que u é harmônica (calcular u_{xx}+u_{yy});
  • Usar Cauchy–Riemann: integrar v_y=u_x para obter v com uma função de x;
  • Usar v_x=-u_y para determinar essa função de x.
    Isso dá v até uma constante; então f(z)=u+iv é a função analítica procurada.

Resposta

(b) v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C \
(c) f(z)=z^{3}+iC

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