Dada a função
,
(1.0) b) Obtenha a harmônica conjugada à
0,5) c) Obtenha a função analítica associada à u.
(1.0) b) Obtenha a harmônica conjugada à
0,5) c) Obtenha a função analítica associada à u.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (b) obter a harmônica conjugada de
(isto é, encontrar tal que seja holomorfa localmente); - (c) obter a função analítica associada a
(isto é, uma função holomorfa cuja parte real seja ).
Informações relevantes fornecidas:
- A função real conhecida é
. - Não foi dada restrição de domínio; normalmente assume-se que se trabalha no plano
(que corresponde ao domínio ), que é simplesmente conexo, então uma harmônica conjugada global existe (à constante aditiva perto).
Passo 2
Por que procurar uma harmônica conjugada via equações de Cauchy–Riemann?
Se é holomorfa (analítica), então as derivadas parciais de
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Se
Essas equações permitem determinar
a partir de
(até uma constante), desde que
seja harmônica. Vou primeiro verificar que
é harmônica (isto é, satisfaz a equação de Laplace), porque a existência de conjugada local exige essa propriedade.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras e segundas de
para verificar harmonicidade.
Calcule:
Agora as segundas derivadas:
Somando para obter o Laplaciano:
Como o Laplaciano é zero,
é harmônica. Isso confirma que procurar uma conjugada
por Cauchy–Riemann é consistente.
Passo 4
Usar as equações de Cauchy–Riemann para encontrar
. Relembrando:
Já temos
e
. Começamos com a primeira:
Integramos em relação a
(tratando
como constante) para obter
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Determinar
usando a segunda equação de Cauchy–Riemann. Primeiro calcule
a partir da expressão obtida:
A segunda equação de Cauchy–Riemann exige
Mas
, então
Comparando com a expressão anterior:
Logo
é constante; chamo-a de
.
Passo 6
Concluir a forma da harmônica conjugada
. Substituindo
obtemos
onde
é uma constante real arbitrária. Em geral escolhe-se
para uma conjugada particular.
Comentário intuitivo:
está determinada até uma constante porque somar uma constante imaginária a
não altera a parte real.
Passo 7
Obter a função analítica associada
. Uma forma elegante é reconhecer que
e
aparecem como parte real e imaginária de
. Vamos verificar e escrever
.
Considere
. Calcule
Expandindo (ou usando binómio de Newton):
Agrupando partes real e imaginária:
Observa-se que a parte real é exatamente
e a parte imaginária é
com
. Portanto uma função analítica cuja parte real é
é
onde
é a mesma constante real que apareceu em
. Tomando
obtemos a escolha mais simples
.
Passo 8
Resumo prático e dica para a prova: quando
tem forma polinomial e lembra as potências de
, muitas vezes
é a parte real de
. A maneira sistemática é:
- Verificar que
é harmônica (calcular ); - Usar Cauchy–Riemann: integrar
para obter com uma função de ; - Usar
para determinar essa função de .
Isso dáaté uma constante; então é a função analítica procurada.
Resposta
(b)
\
(c)
(c)