Desenvolva a função f(z)=\frac{1}{z} como série de z-2. (1,0)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função \,f(z)=\dfrac{1}{z}\, como série em potências de (z-2), ou seja, obter a expansão centrada em z_0=2. As informações que temos:
  • A função é \,f(z)=\dfrac{1}{z}\,.
  • O centro da expansão é z_0=2, portanto queremos uma série em potências de (z-2).
  • Importante observar que f tem uma singularidade em z=0. A distância de z=0 ao centro z=2 é 2. Essa distância afeta a região de convergência da expansão em potências de (z-2).

Passo 2

Vamos construir a expansão válida para pontos próximos a z=2 (a expansão em série de potências — série de Taylor — que converge numa bola centrada em 2 até a singularidade mais próxima). Começamos reescrevendo \dfrac{1}{z} isolando z-2:
z = 2 + (z-2), \qquad \frac{1}{z}=\frac{1}{2+(z-2)}.
Colocamos isso na forma de uma série geométrica. A fórmula básica que usaremos é a série geométrica (essa é uma ferramenta padrão):
\text{Se }\;|w|<1,\qquad \frac{1}{1+w}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^n.
Aqui w é uma variável qualquer com |w|<1. Vamos escolher w de modo que a expressão fique no formato \dfrac{1}{1+w}. Dividindo numerador e denominador por 2 obtém-se:
\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{z-2}{2}}.
Agora aplicamos a série geométrica com w=\dfrac{z-2}{2}, desde que \left|\dfrac{z-2}{2}\right|<1.

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica com w=\dfrac{z-2}{2} temos:
\frac{1}{1+\dfrac{z-2}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\dfrac{z-2}{2}\right)^n.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\dfrac{z-2}{2}\right)^n.
Simplificando os fatores de potência de 2 obtemos a forma com coeficientes explícitos:
\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 2^{-n-1}(z-2)^n,
válida para
\left|\dfrac{z-2}{2}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |z-2|<2.
Explicando: cada termo é da forma (-1)^n 2^{-n-1}(z-2)^n. Essa é a série de Taylor (série em potências não negativas de (z-2)) com raio de convergência 2, porque a singularidade mais próxima do centro 2 é em z=0, a distância 2.

Passo 4

Agora, se o interesse for uma expansão válida fora da bola |z-2|<2 (ou seja, para pontos com |z-2|>2), podemos obter uma série em potências negativas de (z-2) — uma expansão de Laurent válida para |z-2|>2. Começamos escrevendo:
\frac{1}{z}=\frac{1}{(z-2)+2}=\frac{1}{z-2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{2}{z-2}}.
Agora aplicamos a série geométrica com w=\dfrac{2}{z-2}. A série \dfrac{1}{1+w}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n w^n vale quando |w|<1, isto é quando \left|\dfrac{2}{z-2}\right|<1, ou seja |z-2|>2.

Passo 5

Aplicando a série geométrica na forma acima:
\frac{1}{1+\dfrac{2}{z-2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\dfrac{2}{z-2}\right)^n.
Multiplicando por \dfrac{1}{z-2} resulta na expansão de Laurent:
\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 2^{n}(z-2)^{-n-1},
válida para
|z-2|>2.
Essa série contém potências negativas de (z-2) (polo em z=0 aparece como termo com potências negativas) e converge na região exterior ao círculo de raio 2 centrado em 2.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dicas aplicáveis):
  • Para expandir \dfrac{1}{z} em torno de z_0=2 use a identidade \dfrac{1}{2+(z-2)} e transforme em \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1+(z-2)/2} para obter a série de Taylor (potências não negativas) quando |z-2|<2.
  • Se pedirem uma expansão fora do disco (por exemplo numa região externa), escreva \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{z-2}\dfrac{1}{1+2/(z-2)} e use a série geométrica com 2/(z-2) para obter a expansão de Laurent válida quando |z-2|>2.
  • Sempre verifique a condição de convergência pela desigualdade que surge na aplicação da série geométrica; ela vem naturalmente do requisito |w|<1.
  • Exemplo rápido dos primeiros termos da série centrada em 2: os três primeiros termos são
\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(z-2)+\frac{1}{8}(z-2)^2+\cdots\qquad(|z-2|<2).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 2^{-n-1}(z-2)^n\quad\text{válida para}\quad |z-2|<2á\n
\displaystyle \frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 2^{n}(z-2)^{-n-1}\quad\text{válida para}\quad |z-2|>2á

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