Desenvolva.
\log _{3}\left(a^{2} b^{4} \sqrt{c}\right)

Passo 1

O enunciado pede para “desenvolver” o logaritmo
\log_{3}\bigl(a^{2}b^{4}\sqrt{c}\bigr).
O conteúdo envolvido são as propriedades de logaritmo de produto e potência:
  1. \log_{k}(xy)=\log_{k}x+\log_{k}y
  2. \log_{k}(x^{n})=n\log_{k}x.

Passo 2

Primeiro, note que \sqrt{c}=c^{\tfrac{1}{2}}. Aplicando a propriedade do logaritmo de produto:
\log_{3}\bigl(a^{2}b^{4}c^{\tfrac{1}{2}}\bigr) =\log_{3}\bigl(a^{2}\bigr)+\log_{3}\bigl(b^{4}\bigr)+\log_{3}\bigl(c^{\tfrac{1}{2}}\bigr).

Passo 3

Agora usamos a propriedade do logaritmo de potência para cada termo:
\log_{3}\bigl(a^{2}\bigr)=2\log_{3}(a),\quad \log_{3}\bigl(b^{4}\bigr)=4\log_{3}(b),\quad \log_{3}\bigl(c^{\tfrac{1}{2}}\bigr)=\tfrac{1}{2}\log_{3}\text{(c)}.

Passo 4

Somando esses resultados, obtemos a forma desenvolvida:
2\log_{3}(a)+4\log_{3}(b)+\tfrac{1}{2}\log_{3}\text{(c)}.

Resposta

2\log_{3}(a)+4\log_{3}(b)+\tfrac{1}{2}\log_{3}\text{(c)}

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