Desenvolva.
\log _{2}\left(\frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{c}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para expandir o logaritmo de base 2 da expressão \frac{a^{5}}{b^{2}\sqrt{c}}. O conteúdo é propriedades de logaritmo: a lei do quociente, a lei da potência e a lei da raiz.

Passo 2

Aplicamos a lei do quociente:
\log_{2}\!\biggl(\frac{a^{5}}{b^{2}\sqrt{c}}\biggr) =\log_{2}(a^{5})-\log_{2}\bigl(b^{2}\sqrt{c}\bigr).

Passo 3

Expandimos \log_{2}(a^{5}) usando a lei da potência:
\log_{2}(a^{5})=5\,\log_{2}(a).

Passo 4

Expandimos \log_{2}\bigl(b^{2}\sqrt{c}\bigr) separando produto e usando potência fracionária:
\log_{2}(b^{2}\sqrt{c}) =\log_{2}(b^{2})+\log_{2}(c^{1/2}) =2\,\log_{2}(b)+\tfrac12\,\log_{2}\text{(c)}.

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula do Passo 2, obtemos
\log_{2}\!\biggl(\frac{a^{5}}{b^{2}\sqrt{c}}\biggr) =5\,\log_{2}(a)-\bigl[2\,\log_{2}(b)+\tfrac12\,\log_{2}\text{(c)}\bigr] =5\,\log_{2}(a)-2\,\log_{2}(b)-\tfrac12\,\log_{2}\text{(c)}.

Resposta

5\,\log_{2}(a)\;-\;2\,\log_{2}(b)\;-\;\tfrac12\,\log_{2}\text{(c)}.

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