Desenvolva.
\log _{4}\left(\frac{\sqrt[5]{a^{2}} \cdot b^{3}}{\left(c^{4}\right)^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar
\log_{4}\!\Bigl(\frac{\sqrt[5]{a^{2}}\cdot b^{3}}{(c^{4})^{2}}\Bigr).
O conteúdo envolve propriedades de potências (transformar radicais e potências compostas) e propriedades de logaritmo (produto, quociente e potência).

Passo 2

Transforme primeiro os radicais e potências compostas em potências de base única:
\sqrt[5]{a^{2}} = a^{2/5},
(c^{4})^{2} = c^{8}.
Portanto o argumento do logaritmo fica
\frac{\sqrt[5]{a^{2}}\cdot b^{3}}{(c^{4})^{2}} = \frac{a^{2/5}\,b^{3}}{c^{8}}.

Passo 3

Aplique agora as propriedades de logaritmo de produto e quociente:
\log_{4}\!\Bigl(\frac{a^{2/5}b^{3}}{c^{8}}\Bigr) = \log_{4}\bigl(a^{2/5}b^{3}\bigr) - \log_{4}\bigl(c^{8}\bigr),
\log_{4}\bigl(a^{2/5}b^{3}\bigr) = \log_{4}\bigl(a^{2/5}\bigr) + \log_{4}\bigl(b^{3}\bigr).

Passo 4

Use a propriedade que traz a potência para frente do logaritmo:
\log_{4}\bigl(a^{2/5}\bigr)=\frac{2}{5}\,\log_{4}(a), \quad \log_{4}\bigl(b^{3}\bigr)=3\,\log_{4}(b), \quad \log_{4}\bigl(c^{8}\bigr)=8\,\log_{4}\text{(c)}.
Substituindo e combinando termos, obtemos
\frac{2}{5}\,\log_{4}(a) + 3\,\log_{4}(b) - 8\,\log_{4}\text{(c)}.

Resposta

\log_{4}\!\Bigl(\frac{\sqrt[5]{a^{2}}\cdot b^{3}}{(c^{4})^{2}}\Bigr) = \frac{2}{5}\,\log_{4}(a) + 3\,\log_{4}(b) - 8\,\log_{4}\text{(c)}.

Exercícios relacionados