Esboce o gráfico.
y=\log _{0,1} x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = \log_{0,1}(x).
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo com base b em (0,1): domínio, limites, monotonicidade e pontos notáveis.

Passo 2

Fazemos a mudança de base usando o logaritmo natural:
y = \log_{0,1}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(0,1)} = \frac{\ln(x)}{-\ln(10)} = -\,\frac{\ln(x)}{\ln(10)} = -\,\log_{10}(x).
Como \ln(0,1)=-\ln(10)<0, a função está bem definida apenas para x>0. Logo, o domínio é x>0
e existe uma assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Calculamos os limites nos extremos do domínio:
\lim_{x\to0^+}y =\lim_{x\to0^+}\log_{0,1}(x) =+\infty,
\lim_{x\to+\infty}y =\lim_{x\to+\infty}\log_{0,1}(x) =-\infty.

Passo 4

Para ver o comportamento (crescimento ou decrescimento), derivamos:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(\log_{0,1}(x)\bigr) = \frac{1}{x\,\ln(0,1)} <0\quad\text{para todo }x>0.
Isso mostra que a função é estritamente decrescente no domínio.

Passo 5

Identificamos pontos-chave para o esboço:
f(1)=\log_{0,1}(1)=0,
f(0,1)=\log_{0,1}(0,1)=1,
f(10)=\log_{0,1}(10)=-1.
Assim, o gráfico passa por (0,1,\,1), (1,\,0) e (10,\,-1), aproxima-se de +\infty quando x\to0^+ e de -\infty quando x\to+\infty, sendo sempre decrescente.

Resposta

O esboço qualitativo de y=\log_{0,1}(x) é uma curva para x>0 que
  • tem assíntota vertical em x=0,
  • tende a +\infty quando x\to0^+,
  • cruza (0{,}1,\,1), (1,\,0) e (10,\,-1),
  • tende a -\infty quando x\to+\infty,
  • e é estritamente decrescente.

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