Desenvolva, manualmente, o Exemplo 2.3 do livro do NISE: Dada a equação diferencial a seguir, obter a solução para y(t) considerando que todas as condições iniciais são iguais a zero. Utilize a transformada de Laplace.
d^2 yd t^2+12 d yd t+32 y=32 u(t)

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com entrada tipo degrau u(t) e condições iniciais nulas usando transformada de Laplace. A equação é
d^2ydt^2 + 12dydt + 32y = 32,u(t)
com y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar propriedades de linearidade e de transformada de derivadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace a cada termo. Lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly' = sY(s) - y(0),
Ly = Y(s),
Lu(t) = 1s,
e como as condições iniciais são zero, ficamos com
s^2Y(s) + 12sY(s) + 32Y(s) = 321s

Passo 3

Fatoramos Y(s) no lado esquerdo. Temos
Y(s)l(s^2 + 12s + 32r) = 32s
portanto
Y(s) = 32s,(s^2 + 12s + 32)

Passo 4

Observamos que o polinômio quadrático fatora como
s^2 + 12s + 32 = (s+4)(s+8)
Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais:
32s(s+4)(s+8) = As + Bs+4 + Cs+8

Passo 5

Multiplicamos por s(s+4)(s+8) e obtemos
32 = A(s+4)(s+8) + B,s(s+8) + C,s(s+4)
Avaliando em s=0 A=1, em s=-4 B=-2 e em s=-8 C=1. Assim,
Y(s) = 1s - 2s+4 + 1s+8

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo: L^-11/s=1 e L^-11/(s+a)=e^-a t. Logo
y(t) = l(1 - 2e^-4t + e^-8tr)u(t)

Resposta

y(t) = \bigl(1 - 2e^{-4t} + e^{-8t}\bigr)u(t)

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