Desenvolva, manualmente, o Exemplo 2.3 do livro do NISE: Dada a equação diferencial a seguir, obter a solução para
considerando que todas as condições iniciais são iguais a zero. Utilize a transformada de Laplace.
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com entrada tipo degrau
e condições iniciais nulas usando transformada de Laplace. A equação é
com
e
. Vamos usar propriedades de linearidade e de transformada de derivadas.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace a cada termo. Lembrando que
e como as condições iniciais são zero, ficamos com
Passo 3
Fatoramos
no lado esquerdo. Temos
portanto
Passo 4
Observamos que o polinômio quadrático fatora como
Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais:
Passo 5
Multiplicamos por
e obtemos
Avaliando em
dá
, em
dá
e em
dá
. Assim,
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
e
. Logo
Resposta
y(t) = \bigl(1 - 2e^{-4t} + e^{-8t}\bigr)u(t)