Dados dois conjuntos
e
, chama-se diferença simétrica de
com
o conjunto
tal que:
. Prove que
, para todo
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a diferença simétrica de um conjunto qualquer A com o conjunto vazio ∅ é igual a A. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, mais precisamente operações de diferença e união.
Passo 2
Vamos lembrar da definição de diferença de conjuntos. Para quaisquer conjuntos X e Y, temos
Passo 3
Aplicando essa definição ao caso X = A e Y = ∅, vemos que todo elemento de A não pertence a ∅. Logo
Passo 4
Agora calculamos ∅ - A. Como não há elemento em ∅ para começar, nenhum elemento satisfaz “x em ∅ e x não em A”. Ou seja,
Passo 5
Por fim, pela definição de diferença simétrica,
Passo 6
Portanto, concluímos que A \triangle ∅ = A para todo conjunto A.
Resposta
A \triangle ∅ = A