Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença simétrica de A com B o conjunto A triang<= B tal que: A triang<= B=(A-B) cup(B-A). Prove que A triang<= varnothing=A, para todo A.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a diferença simétrica de um conjunto qualquer A com o conjunto vazio ∅ é igual a A. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, mais precisamente operações de diferença e união.

Passo 2

Vamos lembrar da definição de diferença de conjuntos. Para quaisquer conjuntos X e Y, temos
X - Y = x mid x in X e x notin Y

Passo 3

Aplicando essa definição ao caso X = A e Y = ∅, vemos que todo elemento de A não pertence a ∅. Logo
A - ∅ = x mid x in A e x notin ∅ = x mid x in A = A

Passo 4

Agora calculamos ∅ - A. Como não há elemento em ∅ para começar, nenhum elemento satisfaz “x em ∅ e x não em A”. Ou seja,
∅ - A = x mid x in ∅ e x notin A = ∅

Passo 5

Por fim, pela definição de diferença simétrica,
A triang<= ∅ = (A - ∅) cup (∅ - A) = A cup ∅ = A

Passo 6

Portanto, concluímos que A \triangle ∅ = A para todo conjunto A.

Resposta

A \triangle ∅ = A

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