Desenvolva, matematicamente, uma equação de tempo de meia vida de uma reação de:
segunda ordem;
segunda ordem;
Passo 1
O que o enunciado pede: desenvolver, matematicamente, a equação do tempo de meia-vida para uma reação de segunda ordem.
Informações/condições que vamos usar (todas usuais e suficientes para derivar a meia-vida):
Informações/condições que vamos usar (todas usuais e suficientes para derivar a meia-vida):
- A concentração do reagente principal será denotada por
. - A constante de velocidade é
. - A reação obedece à lei de velocidade de segunda ordem no mesmo reagente, isto é, a velocidade é proporcional ao quadrado da concentração de
. - A condição inicial é
. - O tempo de meia-vida
é o tempo necessário para que caia de para .
Passo 2
Escrever a lei de velocidade e explicar cada símbolo. Para uma reação de segunda ordem (no mesmo reagente
) a lei diferencial é:
Explicação:
é a concentração de
(por exemplo em mol·L^{-1}),
é o tempo,
é a constante de velocidade (unidades típicas são L·mol{-1}·s{-1}), o sinal negativo aparece porque
diminui com o tempo, e o expoente
indica segunda ordem em
.
Passo 3
Preparar a separação de variáveis para integrar. A equação diferencial é separável: colocamos termos em
de um lado e em
do outro. Fazemos:
Aqui reorganizamos para poder integrar nas variáveis correspondentes.
Passo 4
Integrar ambos os lados entre as condições iniciais e um tempo genérico
. Integramos de
até
no lado esquerdo, e de
até
no lado direito:
Agora calculamos as integrais. No lado esquerdo usamos
. Então
Passo 5
Avaliar os limites da integral do Passo 4. Substituindo os limites:
Simplificando os sinais:
Multiplicando por
em ambos os lados ou reorganizando, obtemos a forma integrada da lei de velocidade:
Essa é a relação integrada para uma reação de segunda ordem (no mesmo reagente): a recíproca da concentração cresce linearmente com o tempo.
Passo 6
Definir meia-vida e aplicar à expressão integrada. Por definição, o tempo de meia-vida
é o tempo em que
. Substituímos isso na relação integrada do Passo 5:
Como
, o lado esquerdo fica
.
Passo 7
Calcular a equação que relaciona
a
e
. Substituindo explicitamente:
Simplificamos o primeiro termo:
. Assim:
Subtraindo
de ambos os lados obtemos:
Essa é a relação imediata que liga
,
e
. (Não coloquei a forma isolada para
aqui porque a resposta final ficará apenas na seção de resposta.)
Passo 8
Interpretação e comentário prático (rápido): a meia-vida para reação de segunda ordem depende da concentração inicial
— quanto maior
, menor
. Isso contrasta com reações de primeira ordem, cuja meia-vida é constante e independe de
. Exemplo numérico rápido: se
e
, da relação do Passo 7 temos
, ou seja
.