Desenvolva, matematicamente, uma equação de tempo de meia vida de uma reação de:
segunda ordem;

Passo 1

O que o enunciado pede: desenvolver, matematicamente, a equação do tempo de meia-vida para uma reação de segunda ordem.
Informações/condições que vamos usar (todas usuais e suficientes para derivar a meia-vida):
  • A concentração do reagente principal será denotada por [A].
  • A constante de velocidade é k.
  • A reação obedece à lei de velocidade de segunda ordem no mesmo reagente, isto é, a velocidade é proporcional ao quadrado da concentração de A.
  • A condição inicial é [A](t=0) = [A]_0.
  • O tempo de meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que [A] caia de [A]_0 para [A]_0/2.

Passo 2

Escrever a lei de velocidade e explicar cada símbolo. Para uma reação de segunda ordem (no mesmo reagente A) a lei diferencial é:
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2
Explicação: [A] é a concentração de A (por exemplo em mol·L^{-1}), t é o tempo, k é a constante de velocidade (unidades típicas são L·mol{-1}·s{-1}), o sinal negativo aparece porque [A] diminui com o tempo, e o expoente 2 indica segunda ordem em [A].

Passo 3

Preparar a separação de variáveis para integrar. A equação diferencial é separável: colocamos termos em [A] de um lado e em t do outro. Fazemos:
\frac{d[A]}{[A]^2} = -k\,dt
Aqui reorganizamos para poder integrar nas variáveis correspondentes.

Passo 4

Integrar ambos os lados entre as condições iniciais e um tempo genérico t. Integramos de [A]_0 até [A](t) no lado esquerdo, e de 0 até t no lado direito:
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]^2} = \int_{0}^{t} (-k)\,dt
Agora calculamos as integrais. No lado esquerdo usamos \int x^{-2} dx = -x^{-1}. Então
\left[-\frac{1}{[A]}\right]_{[A]_0}^{[A](t)} = -k \, t.

Passo 5

Avaliar os limites da integral do Passo 4. Substituindo os limites:
\left(-\frac{1}{[A](t)}\right) - \left(-\frac{1}{[A]_0}\right) = -k\,t.
Simplificando os sinais:
-\frac{1}{[A](t)} + \frac{1}{[A]_0} = -k\,t.
Multiplicando por -1 em ambos os lados ou reorganizando, obtemos a forma integrada da lei de velocidade:
\frac{1}{[A](t)} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t.
Essa é a relação integrada para uma reação de segunda ordem (no mesmo reagente): a recíproca da concentração cresce linearmente com o tempo.

Passo 6

Definir meia-vida e aplicar à expressão integrada. Por definição, o tempo de meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}. Substituímos isso na relação integrada do Passo 5:
\frac{1}{[A](t_{1/2})} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t_{1/2}.
Como [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}, o lado esquerdo fica \dfrac{1}{[A]_0/2}.

Passo 7

Calcular a equação que relaciona t_{1/2} a [A]_0 e k. Substituindo explicitamente:
\frac{1}{[A]_0/2} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t_{1/2}.
Simplificamos o primeiro termo: \dfrac{1}{[A]_0/2} = \dfrac{2}{[A]_0}. Assim:
\frac{2}{[A]_0} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t_{1/2}.
Subtraindo \dfrac{1}{[A]_0} de ambos os lados obtemos:
\frac{1}{[A]_0} = k\,t_{1/2}.
Essa é a relação imediata que liga t_{1/2}, k e [A]_0. (Não coloquei a forma isolada para t_{1/2} aqui porque a resposta final ficará apenas na seção de resposta.)

Passo 8

Interpretação e comentário prático (rápido): a meia-vida para reação de segunda ordem depende da concentração inicial [A]_0 — quanto maior [A]_0, menor t_{1/2}. Isso contrasta com reações de primeira ordem, cuja meia-vida é constante e independe de [A]_0. Exemplo numérico rápido: se k=0{,}02\\ \text{L·mol}^{-1}\text{·s}^{-1} e [A]_0=0{,}10\\ \text{mol·L}^{-1}, da relação do Passo 7 temos k\,t_{1/2} = 1/[A]_0 = 10, ou seja t_{1/2}=10/0{,}02 = 500\\ \text{s}.

Resposta

t_{1/2} = \frac{1}{k\,[A]_0}

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