Desenvolva a série de cossenos ou senos, conforme o caso.
f(x)=l1,-2 pi<x<-pi 0,-pi<x<pi 1, pi<x<2 pi

Passo 1

Nesse exercício, temos uma função periódica de período T = 4π definida por partes:
f(x) = 1 para –2π < x < –π,
f(x) = 0 para –π < x < π,
f(x) = 1 para π < x < 2π.
O conteúdo envolve desenvolver a série de Fourier (no caso, por ser função par, só em cossenos) nesse período.

Passo 2

Primeiro observamos que f é uma função par porque f(–x) = f(x) para todo x. Como sabemos da teoria de séries de Fourier, para funções pares num intervalo simétrico [–L, L] só precisamos de termos em cosseno, isto é, a série de Fourier-cosseno com L = T/2 = 2π.

Passo 3

Escrevemos a expansão em série de Fourier apenas com cossenos:
f(x) = a02 + sumk=1^infty ak cosl(tfrackpi xLr)
onde L = 2π. O próximo passo é calcular os coeficientes a_0 e a_k.

Passo 4

Calculamos o coeficiente a_0 segundo a fórmula
a0 = 1Lintegral-L^L f(x),dx
Como f é par, podemos dobrar a integral de 0 a L:
a0 = 22piintegral0^2pi f(x),dx = 1pi integral0^2pi f(x),dx
Mas f(x)=0 em [0,π] e f(x)=1 em [π,2π], então
integral0^2pi f(x),dx = integralpi^2pi1,dx = pi,
logo a_0 = 1. Assim, a0/2 = 1/2.

Passo 5

Agora calculamos a_k para k ≥ 1 com a fórmula para série par:
ak = 2L integral0^L f(x)cosl(kpi xLr) dx = 1pi integral0^2pi f(x)cosl(kx2r) dx
De novo f(x)=0 em [0,π] e f(x)=1 em [π,2π], então
ak = 1pi integralpi^2pi cosl(kx2r) dx
Integrando:
integral cosl(kx2r)dx = 2k sinl(kx2r),
então
ak = 1pi l[2ksinl(kx2r)r]x=pi^2pi = 2kpil(sin(kpi) - sin(tfrackpi2)r) = -2kpisinl(tfrackpi2r),
pois sin(kpi)=0.

Passo 6

Observamos que sin(tfrackpi2) é zero para k par e alterna ±1 para k ímpar. Escrevendo k = 2m+1 (ímpares), temos
sinl(tfrac(2m+1)pi2r) = (-1)^m
Logo os termos não nulos são para k = 2m+1 e
a2m+1 = -2(2m+1)pi(-1)^m = -2(-1)^m(2m+1)pi

Passo 7

Finalmente, a série de Fourier de f(x) fica:
f(x) = 12 + summ=0^infty a2m+1cosl((2m+1)x2r) = 12 - 2pi summ=0^infty (-1)^m2m+1 cosl(tfrac(2m+1)x2r)
Essa é a expansão em série de cossenos de período 4π.

Passo 8

No geral, temos
f(x) = 12 - 2pil(cosl(tfracx2r) - tfrac13cosl(tfrac3x2r) + tfrac15cosl(tfrac5x2r) - cdotsr)

Passo 9

Essa série converge para a média dos limites laterais de f em cada ponto, recuperando f(x) em quase todo ponto de continuidade.

Resposta

f(x) = 12 - 2pi summ=0^infty (-1)^m2m+1 cosl(tfrac(2m+1)x2r)

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