Desenvolva em série de potências de (x) as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência, e calcule (f(1)) com erro inferior a (10^{-6}) :
(f(x)=int_{0}^{x} e{-t{2}} d t)
(f(x)=int_{0}^{x} e{-t{2}} d t)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- Desenvolver
em série de potências de (ou seja, escrever uma série em potências de que seja igual a ). - Indicar o intervalo de convergência dessa série.
- Calcular
com erro inferior a .
Informações dadas: a integranda é
e a integral é do ponto
até
. Não há figuras adicionais.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a série de potências de
. Lembrando a série de Taylor da exponencial em torno de
:
onde
é qualquer número real (ou complexo). Aqui tomamos
. Substituindo, obtemos a expansão para
:
Explicação didática curta: cada termo é
com
, então vira
. Isso é uma série em potências de
centrada em
.
Passo 3
Agora integramos termo a termo para obter
. Justificativa: a série de
tem raio de convergência infinito (é a série da exponencial composta), portanto converge uniformemente em qualquer intervalo compacto
. Logo podemos integrar termo a termo no intervalo
para qualquer
fixo. Integrando cada termo
em
de
a
dá
Somando todos os
obtemos a série para
:
Cada símbolo explicado:
-
é o índice da soma (começa em e vai ao infinito), -
é o fatorial de , -
vem da integração de , cuja primitiva é .
Passo 4
Intervalo (raio) de convergência. Vamos aplicar o teste da razão na série de termo geral
Considere o módulo dos coeficientes
. Calcule a razão
Quando
a fração
, então o limite da razão é
para todo
. Portanto o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é
Ou seja, a série vale para todo
.
Passo 5
Agora vamos calcular
com erro
usando a série obtida. Para
a série fica
É uma série alternada de termos positivos
. Usaremos o critério da série alternada (leibniz): se
é decrescente e tende a
, o resto após truncar até
tem módulo menor ou igual a
(o primeiro termo omitido). Vamos verificar rapidamente que
é decrescente:
para todo
. E
porque
cresce muito mais rápido que
. Portanto podemos usar o termo omitido como bound do erro.
Passo 6
Precisamos escolher
tal que
. Vamos calcular alguns
:
Queremos
. Observamos que
e
. Logo, se somarmos os termos de
até
(inclusive), o erro (módulo do resto) será
, que é menor que
. Portanto basta truncar a série em
.]
Passo 7
Vamos calcular a soma parcial até
:
Calculando termo a termo (já fizemos os
positivos acima), com sinais alternados:
Somando cuidadosamente (manter pelo menos 12 casas nos cálculos intermediários) obtemos
Pelo critério alternado o erro
. Portanto este valor aproxima
com a precisão exigida.]