Desenvolva em série de potências de (x) as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência, e calcule (f(1)) com erro inferior a (10^{-6}) :
(f(x)=int_{0}^{x} e{-t{2}} d t)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt.
O que é pedido:
  1. Desenvolver f(x) em série de potências de x (ou seja, escrever uma série em potências de x que seja igual a f(x)).
  2. Indicar o intervalo de convergência dessa série.
  3. Calcular f(1)=\int_{0}^{1} e^{-t^{2}}\,dt com erro inferior a 10^{-6}.
Informações dadas: a integranda é e^{-t^{2}} e a integral é do ponto 0 até x. Não há figuras adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a série de potências de e^{-t^{2}}. Lembrando a série de Taylor da exponencial em torno de 0:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!},
onde u é qualquer número real (ou complexo). Aqui tomamos u=-t^{2}. Substituindo, obtemos a expansão para e^{-t^{2}}:
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}.
Explicação didática curta: cada termo é \dfrac{u^{n}}{n!} com u=-t^{2}, então vira \dfrac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}. Isso é uma série em potências de t centrada em 0.

Passo 3

Agora integramos termo a termo para obter f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt. Justificativa: a série de e^{-t^{2}} tem raio de convergência infinito (é a série da exponencial composta), portanto converge uniformemente em qualquer intervalo compacto [-R,R]. Logo podemos integrar termo a termo no intervalo [0,x] para qualquer x fixo. Integrando cada termo \dfrac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!} em t de 0 a x
\int_{0}^{x}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}\,dt=\frac{(-1)^{n}}{n!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Somando todos os n obtemos a série para f(x):
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(2n+1)}\,x^{2n+1}.
Cada símbolo explicado:
  • n é o índice da soma (começa em 0 e vai ao infinito),
  • n! é o fatorial de n,
  • 2n+1 vem da integração de t^{2n}, cuja primitiva é t^{2n+1}/(2n+1).

Passo 4

Intervalo (raio) de convergência. Vamos aplicar o teste da razão na série de termo geral
a_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{n!(2n+1)}x^{2n+1}.
Considere o módulo dos coeficientes b_{n}=\dfrac{|x|^{2n+1}}{n!(2n+1)}. Calcule a razão
\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{|x|^{2(n+1)+1}}{(n+1)!(2n+3)}\cdot\frac{n!(2n+1)}{|x|^{2n+1}} =|x|^{2}\cdot\frac{2n+1}{(2n+3)(n+1)}.
Quando n\to\infty a fração \dfrac{2n+1}{(2n+3)(n+1)}\to 0, então o limite da razão é 0 para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).
Ou seja, a série vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Agora vamos calcular f(1)=\int_{0}^{1} e^{-t^{2}}\,dt com erro <10^{-6} usando a série obtida. Para x=1 a série fica
f(1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(2n+1)}.
É uma série alternada de termos positivos a_{n}=\dfrac{1}{n!(2n+1)}. Usaremos o critério da série alternada (leibniz): se a_{n} é decrescente e tende a 0, o resto após truncar até n=N tem módulo menor ou igual a a_{N+1} (o primeiro termo omitido). Vamos verificar rapidamente que a_{n} é decrescente:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1/((n+1)!(2n+3))}{1/(n!(2n+1))}=\frac{2n+1}{(2n+3)(n+1)}<1
para todo n\ge 0. E a_{n}\to 0 porque n! cresce muito mais rápido que 2n+1. Portanto podemos usar o termo omitido como bound do erro.

Passo 6

Precisamos escolher N tal que a_{N+1}\le 10^{-6}. Vamos calcular alguns a_{n}:
\begin{aligned} a_{0}&=\frac{1}{0!(2\cdot 0+1)}=\frac{1}{1}=1,\\[4pt] a_{1}&=\frac{1}{1!(3)}=\frac{1}{3}\approx 0,3333333333,\\[4pt] a_{2}&=\frac{1}{2!(5)}=\frac{1}{10}=0,1,\\[4pt] a_{3}&=\frac{1}{6\cdot 7}=\frac{1}{42}\approx 0,0238095238,\\[4pt] a_{4}&=\frac{1}{24\cdot 9}=\frac{1}{216}\approx 0,0046296296,\\[4pt] a_{5}&=\frac{1}{120\cdot 11}=\frac{1}{1320}\approx 0,0007575758,\\[4pt] a_{6}&=\frac{1}{720\cdot 13}=\frac{1}{9360}\approx 0,0001068376,\\[4pt] a_{7}&=\frac{1}{5040\cdot 15}=\frac{1}{75600}\approx 0,0000132275,\\[4pt] a_{8}&=\frac{1}{40320\cdot 17}=\frac{1}{685440}\approx 0,00000145802,\\[4pt] a_{9}&=\frac{1}{362880\cdot 19}=\frac{1}{6894720}\approx 0,00000014501. \end{aligned}
Queremos a_{N+1}\le 10^{-6}. Observamos que a_{8}\approx 1{,}458\times 10^{-6}>10^{-6} e a_{9}\approx 1{,}450\times 10^{-7}<10^{-6}. Logo, se somarmos os termos de n=0 até n=8 (inclusive), o erro (módulo do resto) será \le a_{9}\approx 1{,}45\times 10^{-7}, que é menor que 10^{-6}. Portanto basta truncar a série em n=8.]

Passo 7

Vamos calcular a soma parcial até n=8:
S_{8}=\sum_{n=0}^{8}\frac{(-1)^{n}}{n!(2n+1)}.
Calculando termo a termo (já fizemos os a_{n} positivos acima), com sinais alternados:
\begin{aligned} S_{8} &= +a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+a_{6}-a_{7}+a_{8}\\[4pt] &= 1 - 0{,}3333333333333333 + 0{,}1 - 0{,}023809523809523808 + 0{,}004629629629629629 - 0{,}0007575757575757576\\\ &\quad + 0{,}00010683760683760684 - 0{,}000013227513227513228 + 0{,}0000014580188966212694. \end{aligned}
Somando cuidadosamente (manter pelo menos 12 casas nos cálculos intermediários) obtemos
S_{8}\approx 0{,}7468242648417035.
Pelo critério alternado o erro |f(1)-S_{8}|\le a_{9}\approx 1{,}45\times 10^{-7}<10^{-6}. Portanto este valor aproxima f(1) com a precisão exigida.]

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(2n+1)}\,x^{2n+1}
\text{Intervalo de convergência: }(-\infty,\infty)ê
f(1)\approx 0{,}7468242648417035

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