Utilizando o desenvovimento em série, obtenha um valor aproximado de:
com erro inferior a
Passo 1
O que o problema pede: aproximar o número
com erro inferior a
.
Informações dadas (que usaremos):
- A quantidade a aproximar é
. - Queremos uma estimativa numérica cujo erro absoluto seja
. - Vou usar expansões em série para
e um limite para o erro (resto) da série alternada.
Passo 2
Escolha do método (sem jargões demais): vou desenvolver
pela série de potências de
, truncar a série num certo número de termos e usar o teorema do resto para séries alternadas (Leibniz) para controlar o erro. Depois multiplico o valor aproximado de
por
. O objetivo é escolher quantos termos da série manter de modo que, mesmo depois de multiplicar por
, o erro seja
.
Passo 3
Fórmula que vamos usar e explicação didática:
A série de potência para (válida para
) é
A série de potência para
Aqui a série é alternada (sinais
,
,
,
). O teorema de Leibniz diz que, para uma série alternada com termos de módulo decrescente para
grande, o resto ao truncar depois de
é em módulo menor ou igual ao primeiro termo omitido. Ou seja, se
, então
No nosso caso
, então
Como queremos controlar o erro de
, basta garantir
Vou estimar
por
Chamo esta constante de
(aprox.
). Agora escolhemos
tal que
Passo 4
Encontrando
explicitamente (vou testar valores pequenos):
Calculo a estimativa do termo omitido para vários .
Calculo a estimativa do termo omitido para vários
- Para
: próximo termo é . Multiplicando por dá — muito maior que . - Para
: próximo termo . Multiplicando por dá . - Para
: próximo termo . Multiplicando por dá . - Para
: próximo termo . Multiplicando por dá . - Para
: próximo termo . Multiplicando por dá aproximadamente . - Para
: próximo termo (computando diretamente dá aproximadamente ). Multiplicando por dá aproximadamente .
Comparando com
, vemos que para
o erro após multiplicar por
já é menor que
. Portanto é suficiente truncar a série de
somando os termos
(ou seja, 6 termos). Isso garante que o erro de
vezes a parte omitida seja
.
Passo 5
Calcule o somatório parcial
. Vou escrever cada termo como fração e decimal, e ir somando passo a passo (tudo exato até a aproximação decimal final):
Termos:
Somando em ordem para reduzir erro de arredondamento:
(Observação: usei aproximações decimais com precisão suficiente; o valor real de
é
e a diferença entre esse valor exato e
é do mesmo tamanho da estimativa do resto que calculámos antes, alguns
.)
Agora multiplico por
:
Conferência do erro: o erro devido ao truncamento da série (após multiplicar por
) foi garantido ser
pela escolha de
. O pequeno erro adicional por arredondar
e
nas poucas casas usadas é muito menor que
(usámos
e
com muitas casas), então a estimativa total mantém-se com erro absoluto
.]
Resposta
2{,}74766422053129