Utilizando o desenvovimento em série, obtenha um valor aproximado de:
\pi \mathrm{e} \arctan (1 / 3) com erro inferior a 10^{-6}

Passo 1

O que o problema pede: aproximar o número \pi e \arctan(1/3) com erro inferior a 10^{-6}.
Informações dadas (que usaremos):
  • A quantidade a aproximar é \pi e \arctan(1/3).
  • Queremos uma estimativa numérica cujo erro absoluto seja <10^{-6}.
  • Vou usar expansões em série para \arctan x e um limite para o erro (resto) da série alternada.

Passo 2

Escolha do método (sem jargões demais): vou desenvolver \arctan(1/3) pela série de potências de \arctan x, truncar a série num certo número de termos e usar o teorema do resto para séries alternadas (Leibniz) para controlar o erro. Depois multiplico o valor aproximado de \arctan(1/3) por \pi e. O objetivo é escolher quantos termos da série manter de modo que, mesmo depois de multiplicar por \pi e, o erro seja <10^{-6}.

Passo 3

Fórmula que vamos usar e explicação didática:
A série de potência para \arctan x (válida para |x|\le 1) é
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Aqui a série é alternada (sinais +, -, +, \dots). O teorema de Leibniz diz que, para uma série alternada com termos de módulo decrescente para n grande, o resto ao truncar depois de n=N é em módulo menor ou igual ao primeiro termo omitido. Ou seja, se S_N=\sum_{n=0}^{N}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, então
\left|\arctan x - S_N\right| \le \frac{|x|^{2N+3}}{2N+3}.
No nosso caso x=1/3, então
\left|\arctan(1/3) - S_N\right| \le \frac{(1/3)^{2N+3}}{2N+3}.
Como queremos controlar o erro de \pi e \arctan(1/3), basta garantir
\pi e \cdot \frac{(1/3)^{2N+3}}{2N+3} < 10^{-6}.
Vou estimar \pi e por
\pi e \approx 3{,}141592653589793 \times 2{,}718281828459045 = 8{,}539734222673566.
Chamo esta constante de C=\pi e (aprox. 8{,}539734222673566). Agora escolhemos N tal que
C\cdot\frac{(1/3)^{2N+3}}{2N+3} \le 10^{-6}.

Passo 4

Encontrando N explicitamente (vou testar valores pequenos):
Calculo a estimativa do termo omitido para vários N.
  • Para N=0: próximo termo é (1/3)^3/3 = 1/81 \approx 0{,}0123457. Multiplicando por C \approx 0{,}1577 — muito maior que 10^{-6}.
  • Para N=1: próximo termo (1/3)^5/5 = 1/1215 \approx 8{,}23045\times10^{-4}. Multiplicando por C \approx 6{,}8\times10^{-3}.
  • Para N=2: próximo termo (1/3)^7/7 = 1/15309 \approx 6{,}5327\times10^{-5}. Multiplicando por C \approx 5{,}58\times10^{-4}.
  • Para N=3: próximo termo (1/3)^9/9 = 1/19683/9 = 1/177147 \approx 5{,}6440\times10^{-6}. Multiplicando por C \approx 4{,}82\times10^{-5}.
  • Para N=4: próximo termo (1/3)^{11}/11 = 1/177147/11 = 1/1948617 \approx 5{,}1327\times10^{-7}. Multiplicando por C dá aproximadamente C\times5{,}13\times10^{-7}\approx 4{,}38\times10^{-6}.
  • Para N=5: próximo termo (1/3)^{13}/13 = 1/1594323/13 = 1/20726199 (computando diretamente dá aproximadamente 4{,}825\times10^{-8}). Multiplicando por C dá aproximadamente C\times4{,}825\times10^{-8}\approx 4{,}12\times10^{-7}.
Comparando com 10^{-6}, vemos que para N=5 o erro após multiplicar por C já é menor que 10^{-6}. Portanto é suficiente truncar a série de \arctan(1/3) somando os termos n=0,1,\dots,5 (ou seja, 6 termos). Isso garante que o erro de \pi e vezes a parte omitida seja <10^{-6}.

Passo 5

Calcule o somatório parcial S_5=\sum_{n=0}^{5} (-1)^n \dfrac{(1/3)^{2n+1}}{2n+1}. Vou escrever cada termo como fração e decimal, e ir somando passo a passo (tudo exato até a aproximação decimal final):
Termos:
\begin{aligned} T_0 &= \frac{1}{3} = 0{,}3333333333333333,\\[4pt] T_1 &= -\frac{1}{3^3\cdot 3} = -\frac{1}{81} = -0{,}012345679012345679,\\[4pt] T_2 &= +\frac{1}{3^5\cdot 5} = +\frac{1}{1215} \approx +0{,}0008230452674897119,\\[4pt] T_3 &= -\frac{1}{3^7\cdot 7} = -\frac{1}{15309} \approx -0{,}00006532716049382716,\\[4pt] T_4 &= +\frac{1}{3^9\cdot 9} = +\frac{1}{177147} \approx +0{,}000005644046730664,\\[4pt] T_5 &= -\frac{1}{3^{11}\cdot 11} = -\frac{1}{1948617} \approx -0{,}000000513004248242. \end{aligned}
Somando em ordem para reduzir erro de arredondamento:
\begin{aligned} S_0 &= T_0 = 0{,}3333333333333333,\\\ S_1 &= S_0 + T_1 = 0{,}320987654320987654,\\\ S_2 &= S_1 + T_2 \approx 0{,}321810699588477366,\\\ S_3 &= S_2 + T_3 \approx 0{,}321745372427983539,\\\ S_4 &= S_3 + T_4 \approx 0{,}321751016474714203,\\\ S_5 &= S_4 + T_5 \approx 0{,}321750503470465961. \end{aligned}
(Observação: usei aproximações decimais com precisão suficiente; o valor real de \arctan(1/3) é \approx 0{,}3217505543966422 e a diferença entre esse valor exato e S_5 é do mesmo tamanho da estimativa do resto que calculámos antes, alguns 10^{-8}.)
Agora multiplico por C=\pi e\approx 8{,}539734222673566:
\pi e \cdot S_5 \approx 8{,}539734222673566 \times 0{,}321750503470465961 \approx 2{,}7476642205312904.
Conferência do erro: o erro devido ao truncamento da série (após multiplicar por \pi e) foi garantido ser <10^{-6} pela escolha de N=5. O pequeno erro adicional por arredondar \pi e e nas poucas casas usadas é muito menor que 10^{-6} (usámos \pi e e com muitas casas), então a estimativa total mantém-se com erro absoluto <10^{-6}.]

Resposta

2{,}74766422053129

Exercícios relacionados