Desenvolva em série de potências de (x) as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência, e calcule (f(1)) com erro inferior a (10^{-6}) :
(f(x)=int_{0}^{x} frac{sin (t)}{t} d t)
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função f definida por
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt.
As perguntas são:
Desenvolver f(x) em série de potências em x (ou seja, encontrar a série que representa f(x)).
Indicar o(s) intervalo(s) de convergência dessa série.
Calcular f(1) com erro inferior a 10^{-6}.
Informações dadas: a função integranda é \dfrac{\sin t}{t} e a integração é de 0 até x. Não há figura ou outra informação adicional. Vou usar a expansão em série de \sin t e integrar termo a termo para achar a série de potências de f(x).
Passo 2
Vamos lembrar a série de Taylor (Maclaurin) conhecida de \sin t. A fórmula é (aqui explico o porquê):
Explicando: cada termo vem da derivada de ordem 2n+1 de \sin no zero, e o denominador (2n+1)! é o fatorial que aparece na fórmula de Taylor. Essa série converge para todo t\in\mathbb{R} (ou seja, tem raio de convergência infinito) porque os denominadores crescem muito rápido.
Agora dividimos por t (para t\neq0); no ponto t=0 a função \sin t / t tem um limite finito (1), então a série que vamos obter também define o valor no zero por continuidade. Dividindo termo a termo obtemos:
Aqui cada variável e símbolo significa: t é a variável de integração; n é o índice da soma; (2n+1)! é o fatorial de 2n+1.
Passo 3
Justificativa para integrar termo a termo: a série de \dfrac{\sin t}{t} tem raio de convergência infinito (porque (2n+1)! cresce superexponencialmente), logo ela converge uniformemente em qualquer intervalo compacto [-R,R]. Em consequência, podemos integrar a série termo a termo em [0,x] para qualquer x finito. Portanto a integração termo a termo é válida.
Para confirmar o raio de convergência de forma técnica, aplicar o teste da razão em termos absolutos:
Para séries alternadas com termos de módulo decrescente que tendem a zero, o Teorema de Leibniz (teste da série alternada) dá um modo prático de controlar o erro: o erro na aproximação por uma soma parcial até n=N tem módulo menor ou igual ao módulo do próximo termo \left|\text{próximo termo}\right|ó.
Definimos o termo positivo (módulo) pela fórmula
a_{n}=\frac{1}{(2n+1)(2n+1)!}.
Vamos calcular alguns a_n para achar que número de termos precisamos para garantir que o resto seja <10^{-6}:
Queremos que o próximo termo seja \le 10^{-6}. Vemos que a_{3}\approx 2{,}83\cdot10^{-5}>10^{-6} mas a_{4}\approx 3{,}06\cdot10^{-7}<10^{-6}. Pelo critério de Leibniz, somar os termos até n=3 (ou seja, tomar a soma parcial com n=0,1,2,3) garante que o erro restante em módulo seja \le a_{4}<10^{-6}. Portanto basta somar os quatro primeiros termos para atingir a precisão pedida.
Passo 7
Calcule a soma parcial S_{3}=\sum_{n=0}^{3}(-1)^{n}\dfrac{1}{(2n+1)(2n+1)!}. Vou fazer as contas passo a passo:
O erro (restante infinito) em módulo é \le a_{4}=\dfrac{1}{3265920}\approx3{,}0616170\cdot10^{-7}<10^{-6}. Logo esta aproximação satisfaz a exigência de erro.]
Resposta
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!},\text{convergência em }(-\infty,\infty).ê\n \displaystyle f(1)\approx 0{,}9460827664399093 (erro <10^{-6}).