1. Desenvolva em série de potências de x as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
(g) f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} d t

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: desenvolver em série de potências de x a função
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{t}\,dt
e indicar os intervalos (ou intervalo) de convergência dessa série. As informações dadas são apenas a definição integral de f(x). Queremos uma expressão do tipo \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n x^n (ou índice começando em 1), e depois dizer para quais x essa soma converge.

Passo 2

Vamos começar lembrando a série de Taylor (ou série de potência) conhecida para \ln(1+t). Para |t|<1 vale a expansão:
\ln(1+t)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{t^{n}}{n}.
Explicando isso rápido: essa série vem da soma da série geométrica integrada. Aqui t é a variável da expansão e a série é válida para |t|<1; em t=1 a série converge condicionalmente e dá \ln 2.

Passo 3

Dividimos a série de \ln(1+t) por t (para t\neq0) para obter a série da função integranda:
\frac{\ln(1+t)}{t}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{t^{n-1}}{n},\qquad\text{para }0<|t|<1.
Observação sobre t=0: pela expansão de \ln(1+t) temos \ln(1+t)=t-\tfrac{t^2}{2}+\cdots, logo \dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1 quando t\to0. A representação por série acima tem termo constante (quando reindexada) igual a 1, compatível com esse limite.

Passo 4

Agora integramos termo a termo a série de \dfrac{\ln(1+t)}{t} no intervalo de integração. Justificativa prática: para qualquer x com |x|<1 a série em t converge uniformemente em cada segmento [0,x] (ou [x,0] se x<0), então a integração termo a termo é permitida. Integrando cada termo \dfrac{t^{n-1}}{n} de 0 a x obtemos \dfrac{x^n}{n^2}. Assim
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{t}\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{x^{n}}{n^{2}},\qquad\text{para }|x|<1.

Passo 5

Vamos agora determinar o raio de convergência R da série \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n x^n com a_n=(-1)^{n+1}/n^2. Use a fórmula do raio via limite superior:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Como |a_n|=1/n^2 temos \sqrt[n]{|a_n|}=(1/n^2)^{1/n}=n^{-2/n}\to1 quando n\to\infty. Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1 e
R=1.
Portanto a série tem raio de convergência 1; ela converge absolutamente para |x|<1.

Passo 6

Falta analisar os extremos x=1 e x=-1.
  • Para x=1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{1}{n^{2}}.
Como \sum 1/n^{2} converge (série p-com p=2>1), a série acima converge absolutamente. Podemos calcular seu valor usando a relação com \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n^{2}}=\tfrac{\pi^{2}}{6}. Decompondo em termos de ímpares e pares obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}} =\sum_{\text{ímpar}} \frac{1}{n^{2}}-\sum_{\text{par}} \frac{1}{n^{2}} =\sum_{\text{ímpar}} \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.íí
Mas \sum_{\text{ímpar}}1/n^{2}=\bigl(1-\tfrac{1}{2^{2}}\bigr)\zeta(2)=\tfrac{3}{4}\zeta(2)í. Substituindo,
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}}=\tfrac{3}{4}\zeta(2)-\tfrac{1}{4}\zeta(2)=\tfrac{1}{2}\zeta(2)=\tfrac{\pi^{2}}{12}.
Portanto a série converge em x=1 e dá f(1)=\dfrac{\pi^{2}}{12}.
  • Para x=-1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n+1}\frac{1}{n^{2}} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=-\zeta(2)=-\frac{\pi^{2}}{6}.
Essa soma também converge absolutamente (mesma razão: termos 1/n^{2}), logo a série converge em x=-1 e dá f(-1)=-\dfrac{\pi^{2}}{6}.

Passo 7

Conclusão prática e interpretação: a expansão em série de potências obtida por integração termo a termo é válida para |x|<1 por construção, e os termos têm decaimento 1/n^{2} o que garante convergência absoluta também em x=\pm1. Assim a série converge para todo x com |x|\le1 e representa a função f(x) definida pela integral nesses pontos.

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{x^{n}}{n^{2}}, \qquad\text{intervalo de convergência: }[-1,1].ê
f(1)=\frac{\pi^{2}}{12},\qquad f(-1)=-\frac{\pi^{2}}{6}.

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