- Desenvolva em série de potências de
as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
(g)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: desenvolver em série de potências de
a função
e indicar os intervalos (ou intervalo) de convergência dessa série. As informações dadas são apenas a definição integral de
. Queremos uma expressão do tipo
(ou índice começando em
), e depois dizer para quais
essa soma converge.
Passo 2
Vamos começar lembrando a série de Taylor (ou série de potência) conhecida para
. Para
vale a expansão:
Explicando isso rápido: essa série vem da soma da série geométrica integrada. Aqui
é a variável da expansão e a série é válida para
; em
a série converge condicionalmente e dá
.
Passo 3
Dividimos a série de
por
(para
) para obter a série da função integranda:
Observação sobre
: pela expansão de
temos
, logo
quando
. A representação por série acima tem termo constante (quando reindexada) igual a
, compatível com esse limite.
Passo 4
Agora integramos termo a termo a série de
no intervalo de integração. Justificativa prática: para qualquer
com
a série em
converge uniformemente em cada segmento
(ou
se
), então a integração termo a termo é permitida. Integrando cada termo
de
a
obtemos
. Assim
Passo 5
Vamos agora determinar o raio de convergência
da série
com
. Use a fórmula do raio via limite superior:
Como
temos
quando
. Logo
e
Portanto a série tem raio de convergência
; ela converge absolutamente para
.
Passo 6
Falta analisar os extremos
e
.
- Para
a série vira
Como
converge (série
-com
), a série acima converge absolutamente. Podemos calcular seu valor usando a relação com
. Decompondo em termos de ímpares e pares obtemos
Mas
. Substituindo,
Portanto a série converge em
e dá
.
- Para
a série vira
Essa soma também converge absolutamente (mesma razão: termos
), logo a série converge em
e dá
.
Passo 7
Conclusão prática e interpretação: a expansão em série de potências obtida por integração termo a termo é válida para
por construção, e os termos têm decaimento
o que garante convergência absoluta também em
. Assim a série converge para todo
com
e representa a função
definida pela integral nesses pontos.