1. Desenvolva em série de potências de x as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
(i) f(x)=\frac{e^{x^{2}}-1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{e^{x^{2}}-1}{x} e pede duas coisas:
  • Desenvolver f(x) em série de potências de x (isto é, escrever como uma soma do tipo \sum c_k x^k).
  • Indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações importantes fornecidas: a função envolve a exponencial e^{x^{2}} e uma divisão por x. Note que a expressão original não está definida em x=0, mas a série que formos obter pode ter comportamento bem definido em 0.

Passo 2

Vamos lembrar a expansão em série de potências da exponencial — isto é uma fórmula padrão que podemos usar diretamente.
A expansão de Taylor (ou série de Maclaurin) de e^{t} em torno de t=0 é, para todo t,
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}.
Explicando devagar: aqui t é uma variável qualquer; o símbolo n! significa o fatorial de n. Essa série significa que e^{t} é a soma infinita \;1 + t + \dfrac{t^{2}}{2!} + \dfrac{t^{3}}{3!} + \cdots, e essa série converge para todo t\in\mathbb{R} (na verdade para todo t\in\mathbb{C}) — o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Substituímos t=x^{2} na série de e^{t}. Assim
e^{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}.
Agora calculamos e^{x^{2}}-1 e dividimos por x. Subtraindo 1 elimina o termo n=0, então
e^{x^{2}}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}.
Dividindo termo a termo por x (válido dentro do raio de convergência),
\frac{e^{x^{2}}-1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{n!}.
Aqui cada termo é \dfrac{x^{2n-1}}{n!}. Esse é já um desenvolvimento em série de potências de x (observe que aparecem apenas potências ímpares de x).

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos para ficar mais concreto:
\frac{e^{x^{2}}-1}{x}= \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{3}}{2!} + \frac{x^{5}}{3!} + \frac{x^{7}}{4!} + \cdots.
Podemos também trocar o índice para começar em k=0. Fazendo k=n-1 obtemos a forma alternativa
\frac{e^{x^{2}}-1}{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(k+1)!}.
As duas formas são equivalentes; escolha a que você achar mais clara na hora da prova.

Passo 5

Agora vamos analisar a convergência dessa série. Uma forma simples é aplicar o teste da razão aos termos gerais
a_{n}(x)=\frac{x^{2n-1}}{n!}\quad (n\ge 1).
Calculemos
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right| =\left|\frac{x^{2(n+1)-1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{x^{2n-1}}\right| =\left|\frac{x^{2}}{n+1}\right|.
Para qualquer x fixo, ao fazermos n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right|=0.
Como o limite é 0<1, o teste da razão garante convergência absoluta para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito: a série converge para todo x\in\mathbb{R} (e mesmo para todo x\in\mathbb{C}).
Observação didática rápida: isso já era previsível porque partimos da série de e^{x^{2}}, cuja convergência é global; dividir por x (exceto em 0) não muda o raio de convergência da série formal.

Passo 6

Sobre o ponto x=0: a expressão original \dfrac{e^{x^{2}}-1}{x} não está definida em x=0. Porém a série que encontramos é uma série de potências que converge em 0 e seu valor em 0 (somando os termos) é 0 — isto porque o primeiro termo é x. Em particular
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{x}=0,
o que mostra que a singularidade em 0 é removível; se definirmos f(0)=0 obtemos uma função analítica em toda a reta.
(Dica rápida: na prova você pode usar L’Hôpital para verificar o limite: \lim_{x\to0}(e^{x^{2}}-1)/x = \lim_{x\to0}(2x e^{x^{2}})/1 =0, ou usar os primeiros termos da série.)

Passo 7

Resumo prático para a prova: escreva a série de e^{t} com t=x^{2}, subtraia 1 e divida por x. Use o teste da razão (ou saiba que a exponencial tem raio infinito) para concluir convergência para todo x. Seja claro em apontar que a função original tem singularidade removível em 0.

Resposta

\frac{e^{x^{2}}-1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{n!}=x+\frac{x^{3}}{2!}+\frac{x^{5}}{3!}+\cdots,\qquad \text{converge para todo }x\in\mathbb{R}\\ (\text{raio de convergência }=\infty).ê

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