Desenvolver f(x) em série de potências de x (ou seja, escrever f como uma somatória em potências de x);
Indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A integranda é \operatorname{sen}(t^{2}).
O limite inferior da integral é 0 e o superior é x (portanto a integral é sobre t e depende de x).
Passo 2
Vamos começar lembrando a série de potências conhecida para \operatorname{sen} u. Para qualquer variável u vale a expansão em série de Taylor centrada em 0:
\operatorname{sen} u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando essa fórmula de forma simples:
A soma é sobre n=0,1,2,\dots.
O termo genérico é (-1)^n vezes u^{2n+1} dividido por (2n+1)!.
Aqui (2n+1)! é o fatorial de 2n+1.
Essa série é a expansão padrão de \operatorname{sen} u e converge para todo u\in\mathbb{R} (a série tem raio de convergência infinito).
Passo 3
Agora substituímos u=t^{2} (porque na integral a função é \operatorname{sen}(t^{2})). Fazendo a substituição na série obtemos:
Antes de integrar, precisamos justificar que podemos integrar a série termo a termo no intervalo de integração [0,x].
Um argumento simples e eficaz: para qualquer R>0 fixo, em |t|\le R temos
E a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{R^{4n+2}}{(2n+1)!} converge (pois os fatoriais no denominador crescem muito rápido). Pelo teste de Weierstrass (M-test) a série para \operatorname{sen}(t^{2}) converge uniformemente em [-R,R]. Tomando R=|x| (ou qualquer R\ge|x|), a convergência é uniforme no segmento [0,x]. Convergência uniforme permite integrar termo a termo. (Intui: estamos trocando integral e soma só quando a soma converge de forma suficientemente boa; aqui isso ocorre.)
Passo 5
Agora integramos termo a termo a série de \operatorname{sen}(t^{2}) de t=0 a t=x. Integrando o termo genérico:
Intervalo (raio) de convergência. Uma razão direta: a série original de \operatorname{sen} u converge para todo u\in\mathbb{R}; ao substituir u=t^{2} e integrar, obtemos uma função analítica em todo \mathbb{R}. Mas para ser mais direto com testes de séries de potências, faça o teste da razão sobre os termos da série final. Tome o termo genérico
Assim o limite da razão é 0 para todo x\in\mathbb{R}, o que implica convergência para todo x. Conclusão: o raio de convergência é infinito e a série converge em todo o eixo real.