1. Desenvolva em série de potências de x as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
(h) f(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}\big(t^{2}\big)\,dt
e pede duas coisas:
  • Desenvolver f(x) em série de potências de x (ou seja, escrever f como uma somatória em potências de x);
  • Indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A integranda é \operatorname{sen}(t^{2}).
  • O limite inferior da integral é 0 e o superior é x (portanto a integral é sobre t e depende de x).

Passo 2

Vamos começar lembrando a série de potências conhecida para \operatorname{sen} u. Para qualquer variável u vale a expansão em série de Taylor centrada em 0:
\operatorname{sen} u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • A soma é sobre n=0,1,2,\dots.
  • O termo genérico é (-1)^n vezes u^{2n+1} dividido por (2n+1)!.
  • Aqui (2n+1)! é o fatorial de 2n+1.
    Essa série é a expansão padrão de \operatorname{sen} u e converge para todo u\in\mathbb{R} (a série tem raio de convergência infinito).

Passo 3

Agora substituímos u=t^{2} (porque na integral a função é \operatorname{sen}(t^{2})). Fazendo a substituição na série obtemos:
\operatorname{sen}\big(t^{2}\big)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{(t^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Simplificando a potência (t^{2})^{2n+1}=t^{4n+2}, vem:
\operatorname{sen}\big(t^{2}\big)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{t^{4n+2}}{(2n+1)!}.
Aqui:
  • O expoente de t no termo n é 4n+2.
  • O coeficiente é (-1)^{n}/(2n+1)!.

Passo 4

Antes de integrar, precisamos justificar que podemos integrar a série termo a termo no intervalo de integração [0,x].
Um argumento simples e eficaz: para qualquer R>0 fixo, em |t|\le R temos
\left|\frac{t^{4n+2}}{(2n+1)!}\right|\le\frac{R^{4n+2}}{(2n+1)!}.
E a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{R^{4n+2}}{(2n+1)!} converge (pois os fatoriais no denominador crescem muito rápido). Pelo teste de Weierstrass (M-test) a série para \operatorname{sen}(t^{2}) converge uniformemente em [-R,R]. Tomando R=|x| (ou qualquer R\ge|x|), a convergência é uniforme no segmento [0,x]. Convergência uniforme permite integrar termo a termo. (Intui: estamos trocando integral e soma só quando a soma converge de forma suficientemente boa; aqui isso ocorre.)

Passo 5

Agora integramos termo a termo a série de \operatorname{sen}(t^{2}) de t=0 a t=x. Integrando o termo genérico:
\int_{0}^{x} t^{4n+2}\,dt = \left[\frac{t^{4n+3}}{4n+3}\right]_{0}^{x} = \frac{x^{4n+3}}{4n+3}.
Multiplicando pelo coeficiente (-1)^{n}/(2n+1)! obtemos o termo da série para f(x). Portanto, integrando a série termo a termo:
f(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}\big(t^{2}\big)\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}\cdot\frac{x^{4n+3}}{4n+3}.

Passo 6

Escrevendo a série de forma limpa:
\boxed{\,f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!\,(4n+3)}\,.}
Para ajudar na intuição, aqui estão os primeiros termos explícitos (substituindo n=0,1,2):
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{7}}{3!\cdot 7}+\frac{x^{11}}{5!\cdot 11}-\frac{x^{15}}{7!\cdot 15}+\cdots.
Em números:
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{7}}{42}+\frac{x^{11}}{1320}-\cdots.

Passo 7

Intervalo (raio) de convergência. Uma razão direta: a série original de \operatorname{sen} u converge para todo u\in\mathbb{R}; ao substituir u=t^{2} e integrar, obtemos uma função analítica em todo \mathbb{R}. Mas para ser mais direto com testes de séries de potências, faça o teste da razão sobre os termos da série final. Tome o termo genérico
a_{n}(x)=(-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}.
Calcule a razão em módulo
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right| =|x|^{4}\cdot\frac{(2n+1)!(4n+3)}{(2n+3)!(4n+7)} =|x|^{4}\cdot\frac{4n+3}{(2n+2)(2n+3)(4n+7)}.
Quando n\to\infty, esse quociente se comporta como
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right|\sim |x|^{4}\cdot\frac{1}{4n^{2}}\to 0.
Assim o limite da razão é 0 para todo x\in\mathbb{R}, o que implica convergência para todo x. Conclusão: o raio de convergência é infinito e a série converge em todo o eixo real.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!\,(4n+3)}
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).

Exercícios relacionados