Desenvolva a série de potências em torno da origem
10. f_{10}(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a série de potências em torno da origem de
f_{10}(x)=x^{2}e^{-x^{3}}.
O conteúdo é desenvolvimento em série de Taylor (ou Maclaurin), e vamos precisar do desenvolvimento conhecido de \mathrm e^{u} em potências de u.

Passo 2

Lembramos que
\mathrm e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Aqui tomamos u=-x^{3}, de modo que
e^{-x^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^{3})^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{3n}}{n!}.

Passo 3

Basta multiplicar esse resultado por x^{2}:
x^{2}e^{-x^{3}} =x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{3n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{3n+2}}{n!}.

Resposta

\boxed{f_{10}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,x^{3n+2}}.

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