1. Expanda \left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para expandir o polinômio \bigl(1+x+x^{2}+x^{3}\bigr)^{3}. O conteúdo aqui é manipulação de polinômios e uso de convolução (ou Teorema Multinomial) para obter os coeficientes de cada potência de x.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o quadrado do polinômio e depois multiplicar pelo fator extra \bigl(1+x+x^{2}+x^{3}\bigr). Note que
\bigl(1+x+x^{2}+x^{3}\bigr)^{2}
é a convolução de \{1,1,1,1\} consigo mesma, cujo resultado tem coeficientes
a_{n} = \sum_{i=0}^{n} c_{i}c_{n-i},\quad c_{k}=1\text{ para }0\le k\le3,\;c_{k}=0\text{ caso contrário}.á
Assim obtemos
(1+x+x^{2}+x^{3})^{2} =1+2x+3x^{2}+4x^{3}+3x^{4}+2x^{5}+x^{6}.

Passo 3

Agora multiplicamos esse quadrado por \bigl(1+x+x^{2}+x^{3}\bigr). Seja
b_{n}=\sum_{i=0}^{3}a_{\,n-i},
onde a_{k}=0 se k<0 ou k>6. Calculando termo a termo:
\begin{aligned} b_{0}&=a_{0}=1,\\\ b_{1}&=a_{1}+a_{0}=2+1=3,\\\ b_{2}&=a_{2}+a_{1}+a_{0}=3+2+1=6,\\\ b_{3}&=a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=4+3+2+1=10,\\\ b_{4}&=a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}=3+4+3+2=12,\\\ b_{5}&=a_{5}+a_{4}+a_{3}+a_{2}=2+3+4+3=12,\\\ b_{6}&=a_{6}+a_{5}+a_{4}+a_{3}=1+2+3+4=10,\\\ b_{7}&=a_{6}+a_{5}+a_{4}=1+2+3=6,\\\ b_{8}&=a_{6}+a_{5}=1+2=3,\\\ b_{9}&=a_{6}=1. \end{aligned}

Resposta

\bigl(1+x+x^{2}+x^{3}\bigr)^{3} =1+3x+6x^{2}+10x^{3}+12x^{4}+12x^{5}+10x^{6}+6x^{7}+3x^{8}+x^{9}.

Exercícios relacionados